การทดสอบอคติด้านเครื่องหมายและขนาดของ Engle–Ng

แบบจำลองอาจจับการกระจุกตัวของขนาดผลตอบแทนได้ แต่พลาดความแตกต่างที่ช็อกแต่ละแบบมีต่อความแปรปรวนในอนาคต GARCH แบบสมมาตรให้ผลต่อความแปรปรวนเท่ากันแก่ค่ารบกวนบวกและลบที่มีขนาดเท่ากัน หากเศษเหลือมาตรฐานยังมีรูปแบบต่างกันหลังช็อกแต่ละเครื่องหมาย ข้อจำกัดนั้นอาจเข้มเกินไปสำหรับตัวอย่างนี้

Engle และ Ng มองเรื่องนี้เป็นการวินิจฉัยหลังประมาณค่า โดยถามว่าเครื่องหมายหรือขนาดของค่ารบกวนก่อนหน้าช่วยอธิบายเศษเหลือปรับมาตรฐานยกกำลังสองของวันนี้หรือไม่ บทความต้นฉบับนิยามเส้นโค้งผลกระทบของข่าวและเปรียบเทียบแบบจำลองด้วยผลตอบแทนรายวันของหุ้นญี่ปุ่น อันดับเชิงประจักษ์นั้นจำกัดอยู่ในตัวอย่างดังกล่าว ไม่ใช่ทุกตลาด (Engle และ Ng, 1993)

คำว่า “อคติ” ในที่นี้หมายถึงรูปแบบที่เหลือตามเครื่องหมายหรือขนาดซึ่งแบบจำลองความแปรปรวนอธิบายไม่ได้ ไม่ใช่อคติเชิงสถิติของค่าประมาณพารามิเตอร์ กำหนด แบบจำลอง GARCH ให้ชัดก่อน แล้วประเมินว่าการตอบสนองต่อช็อกเหมาะกับจุดประสงค์และตัวอย่างหรือไม่

เขียนผลตอบแทนได้ดังนี้:

\[ r_t = \mu_t + \epsilon_t, \]

ในที่นี้ \(\mu_t\) คือค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไข และ \(\epsilon_t\) คือค่ารบกวนหลังประมาณแบบจำลองค่าเฉลี่ยแล้ว \(h_t\) คือความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขที่ประมาณได้ เศษเหลือมาตรฐานเทียบค่ารบกวนกับสเกลความแปรปรวนที่แบบจำลองคาดการณ์

\[ h_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal F_{t-1}), \qquad \hat z_t=\frac{\hat\epsilon_t}{\sqrt{\hat h_t}}. \]

หากกำหนดแบบจำลองความแปรปรวนได้เหมาะสม \(\hat z_t^2\) ไม่ควรสูงหรือต่ำอย่างเป็นระบบหลังช็อกในอดีตบางชนิดเกินกว่าส่วนที่แบบจำลองอธิบาย การปรับมาตรฐานตัดสเกลความแปรปรวนที่คาดการณ์ไว้ แต่เศษเหลือดิบยกกำลังสองอาจยังมีการกระจุกตัวตามปกติ กำหนดสมการค่าเฉลี่ย นิยามเศษเหลือ ความแปรปรวน ตัวอย่าง และหน่วยก่อนตีความค่า p

กำหนดตัวบ่งชี้ค่ารบกวนก่อนหน้าที่เป็นลบและส่วนเติมเต็ม:

\[ S^-_{t-1}=\mathbf 1(\hat\epsilon_{t-1}<0), \qquad S^+_{t-1}=1-S^-_{t-1}. \]

ตัวแปรถดถอยของการทดสอบเครื่องหมายคือ \(S^-\); ขนาดลบคือ \(S^-\hat\epsilon\); และขนาดบวกคือ \(S^+\hat\epsilon\) แต่ละตัวตอบคนละคำถาม: เครื่องหมายเพียงอย่างเดียวสำคัญหรือไม่ และขนาดในแต่ละด้านเพิ่มข้อมูลหรือไม่ ระบุวิธีจัดประเภทค่ารบกวนศูนย์และหน่วย เพราะสัมประสิทธิ์ขนาดขึ้นกับหน่วย

เส้นโค้งผลกระทบของข่าวสรุปว่าแบบจำลองแปลงค่ารบกวนใหม่เป็นความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขช่วงถัดไปอย่างไร เมื่อกำหนดสถานะอื่นคงที่ เส้นโค้งของ GARCH สมมาตรรอบศูนย์ ส่วนข้อกำหนดแบบไม่สมมาตรผ่อนข้อจำกัดนั้น นี่เป็นคุณสมบัติของแบบจำลอง ไม่ใช่ผลเชิงเหตุที่สังเกตโดยตรงจากตลาด

\(\mathbf z_{ot}^*\) คือเวกเตอร์ของอนุพันธ์ที่ทำให้เป็นมาตรฐานของความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขที่คงไว้ เทียบกับพารามิเตอร์รบกวน โดยประเมินภายใต้สมมติฐานศูนย์ พจน์เหล่านี้เป็นพจน์ score/อนุพันธ์ และไม่จำเป็นต้องเป็นตัวแปรถดถอยความแปรปรวนดิบโดยตรง สมการเสริมแต่ละสมการเพิ่มพจน์เครื่องหมายหรือขนาดโดยคงพจน์เหล่านั้นไว้

การทดสอบเครื่องหมายถามว่าเครื่องหมายของค่ารบกวนก่อนหน้าช่วยคาดการณ์เศษเหลือมาตรฐานยกกำลังสองปัจจุบันหรือไม่ โดยคงพจน์อื่นในแบบจำลองศูนย์ของความแปรปรวนไว้ สมการถดถอยเสริมคือ:

\[ \hat z_t^2=a+b_s S^-_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

สมมติฐานศูนย์รายตัวคือ \(b_s=0\) ตัวบ่งชี้เครื่องหมายเป็นพจน์ที่เพิ่มเข้ามาและถูกทดสอบ ค่าสัมประสิทธิ์ที่มีนัยสำคัญบ่งชี้รูปแบบความแปรปรวนของเศษเหลือต่างกันหลังช็อกลบและไม่เป็นลบ เมื่อกำหนดแบบจำลองที่ประมาณได้ไว้

ไม่ได้หมายความว่าผลตอบแทนลบเพิ่มความผันผวนเสมอไป การทดสอบไม่ระบุกลไกเชิงเหตุหรือการตอบสนองไม่เชิงเส้นทุกแบบ การปฏิเสธสมมติฐานเป็นเหตุให้ตรวจแบบจำลองและข้อมูล

การทดสอบนี้เน้นด้านลบและถามว่าขนาดของค่ารบกวนอธิบายรูปแบบที่เหลือหรือไม่:

\[ \hat z_t^2=a+b_- S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

สมมติฐานศูนย์รายตัวคือ \(b_-=0\) เมื่อค่าตัวบ่งชี้เป็นหนึ่ง ค่ารบกวนจะเป็นลบ ดังนั้นต้องตีความเครื่องหมายสัมประสิทธิ์ตามธรรมเนียมเครื่องหมายและหน่วย การทดสอบถามว่าขนาดช็อกเพิ่มข้อมูลเหนือแบบจำลองความแปรปรวนหรือไม่ ไม่ได้พิสูจน์ผลเชิงเหตุของข่าวร้ายหรือการพยากรณ์ที่ดีขึ้น

ตัวแปรถดถอยเสริมอาจสัมพันธ์กัน ทำให้แยกส่วนสนับสนุนของแต่ละพจน์ได้ยาก ตีความการทดสอบรายตัวร่วมกับสมการเต็มและการทดสอบร่วม

งานที่เกี่ยวข้องเปรียบเทียบข้อกำหนดความแปรปรวนแบบไม่สมมาตร เช่น GJR แต่ผลเชิงประจักษ์จำกัดตามข้อมูลและสมมติฐานของแต่ละงาน (Glosten, Jagannathan และ Runkle, 1993)

<!-- learn:illustration -->

การทดสอบที่สอดคล้องกันพิจารณาด้านค่ารบกวนบวก:

\[ \hat z_t^2=a+b_+ S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

สมมติฐานศูนย์คือ \(b_+=0\) การทดสอบนี้อาจมีนัยสำคัญแม้การทดสอบเครื่องหมายไม่มีนัยสำคัญ เพราะการตอบสนองภายในด้านหนึ่งอาจเปลี่ยนตามขนาด แม้ค่าเฉลี่ยตามเครื่องหมายจะไม่ต่างกัน

“อคติด้านขนาดบวก” ไม่ได้หมายความว่าผลตอบแทนบวกต้องเพิ่มหรือลดความผันผวน EGARCH ของ Nelson และแบบจำลอง threshold ของ Zakoian อนุญาตให้พลวัตความแปรปรวนไม่สมมาตร เป็นทางเลือกที่ต้องประเมิน ไม่ใช่การแก้ไขอัตโนมัติหรือแบบจำลองที่เหนือกว่าเสมอ

(Nelson, 1991; Zakoian, 199490039-6))

ทดสอบตัวแปรถดถอยทั้งสามพร้อมกันในสมการเสริมได้:

\[ \hat z_t^2=a+b_1S^-_{t-1}+b_2S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+b_3S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

สมมติฐานศูนย์ร่วมคือ \(b_1=b_2=b_3=0\) เมื่อคงพจน์อื่นของแบบจำลองศูนย์ไว้และอยู่ภายใต้เงื่อนไขตัวอย่างขนาดใหญ่ทั่วไป สถิติ LM ร่วมเปรียบเทียบเชิงเส้นกำกับกับการแจกแจงไคสแควร์ที่มี 3 องศาอิสระ รูปแบบที่ใช้กันคือ \(LM=M R^2\) โดย \(M\) คือจำนวนแถวที่ใช้ได้ และ \(R^2\) มาจากสมการที่ระบุ ให้ใช้สมการและกฎตัวอย่างจำกัดของวิธีที่เลือก

Engle และ Ng ระบุว่าการตัด \(\mathbf z_{ot}^*\) ออกจากสมการร่วมทำให้การทดสอบอนุรักษนิยม: ขนาดการทดสอบไม่เกินระดับนัยสำคัญที่กำหนด แต่อำนาจการทดสอบอาจลดลง

ตัวอย่างสมมติเท่านั้น: หาก \(M=400\) และ \(R^2=0.012\) จะได้ \(LM=4.8\) ค่าวิกฤต 5% ของไคสแควร์ 3 องศาอิสระอยู่ที่ประมาณ 7.81 จึงไม่ปฏิเสธสมมติฐานศูนย์ในกรณีนี้ ตัวเลขใช้เพื่ออธิบาย ไม่ใช่ผลเชิงประจักษ์หรือหลักฐานว่าแบบจำลองสมมาตร

ค่า p ต่ำสนับสนุนให้ตรวจรูปแบบเศษเหลือเฉพาะ แต่ไม่ได้เลือกแบบจำลองทางเลือก พิสูจน์กลไก leverage เชิงเหตุ หรือแสดงมูลค่าทางเศรษฐกิจของการพยากรณ์ ค่า p สูงหมายถึงการทดสอบไม่พบรูปแบบที่เลือกในตัวอย่างนี้เท่านั้น

ตัวแปรถดถอยเสริมอาจสัมพันธ์กัน โดยเฉพาะตัวบ่งชี้เครื่องหมายกับพจน์ขนาดลบ ซึ่งลดอำนาจของการทดสอบรายตัวได้ ขนาดตัวอย่าง การประมาณค่า และข้อกำหนดที่คงไว้ก็สำคัญ การทดลองสินทรัพย์ แบบจำลอง lag และช่วงเวลาหลายแบบเพิ่มโอกาสพบค่า p ต่ำโดยบังเอิญ

ค่าผิดปกติ การกระโดด การเปลี่ยนโครงสร้าง พลวัตค่าเฉลี่ยที่ตกหล่น หรือหน่วยค่ารบกวนไม่สอดคล้องกันอาจเปลี่ยนผลได้ บันทึกนิยามผลตอบแทน ช่วงประมาณค่า ธรรมเนียมเครื่องหมาย และวิธีอนุมาน ระบุข้อจำกัดของการประมาณเชิงเส้นกำกับ และพิจารณาการสุ่มซ้ำที่เหมาะสม

ARCH LM ถามว่าเศษเหลือยกกำลังสองที่ lag ไว้อธิบายเศษเหลือยกกำลังสองปัจจุบันหรือไม่ ดูคู่มือ ARCH-LM Engle–Ng ทดสอบพจน์เครื่องหมายและขนาดรายด้านที่กำหนดไว้ ส่วนการทดสอบ Ljung–Box ตรวจสหสัมพันธ์ต่อเนื่องของเศษเหลือ ซึ่งเป็นคนละคำถาม

หลังปฏิเสธสมมติฐาน อาจประมาณ GJR-GARCH, EGARCH หรือแบบจำลอง threshold ตรวจเศษเหลือซ้ำ และประเมินการพยากรณ์แยกต่างหาก QLIKE กับความคลาดเคลื่อนกำลังสอง ให้คะแนนการพยากรณ์หลังสร้างแล้ว ไม่ได้แทนการวินิจฉัยข้อกำหนดเศษเหลือ

หากใช้การพยากรณ์ความผันผวนในกฎซื้อขาย ให้ประเมินนอกตัวอย่างโดยรวมค่าธรรมเนียม spread ผลกระทบต่อตลาด ต้นทุนเงินทุน และข้อจำกัดความเสี่ยง การทดสอบอคติด้านเครื่องหมาย/ขนาดไม่ใช่สัญญาณซื้อหรือขาย