การทดสอบ ARCH LM เพื่อตรวจจับการกระจุกตัวของความผันผวน

ทิศทางผลตอบแทนของสินทรัพย์อาจคาดการณ์ได้ยาก แต่ขนาดของการเคลื่อนไหวที่รุนแรงหรือสงบอาจเกิดเป็นกลุ่มตามเวลา การทดสอบ ARCH LM ถามว่ากำลังสองของนวัตกรรมจากแบบจำลองสัมพันธ์กับค่าล่าช้าของมันหรือไม่ ซึ่งสอดคล้องกับผลของ ARCH จนถึงลำดับ q ที่เลือก

Robert Engle เสนอการทดสอบนี้จากงานเรื่องความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขที่เปลี่ยนไปตามเวลา ดู งานวิจัยต้นฉบับของ Engle ในปี 1982 และปาฐกถาโนเบลเรื่อง ARCH การทดสอบนี้ไม่ได้ตรวจทิศทางผลตอบแทน ระบุสาเหตุของความสัมพันธ์ พิสูจน์ว่า GARCH รุ่นใดรุ่นหนึ่งถูกต้อง หรือสร้างสัญญาณซื้อขาย

ประมาณสมการที่เหมาะสมสำหรับค่าเฉลี่ยของผลตอบแทนก่อน แล้วคำนวณเศษเหลือหรือนวัตกรรม e_t การวินิจฉัยนี้ตั้งอยู่บนการที่เศษเหลือแทนส่วนที่สมการค่าเฉลี่ยอธิบายไม่ได้อย่างสมเหตุสมผล

หากละเลยพลวัตของค่าเฉลี่ยหรือตัวแปรสำคัญ โครงสร้างบางอย่างอาจยังอยู่ในเศษเหลือและถูกเข้าใจผิดว่าเป็นความสัมพันธ์ของความแปรปรวน การทดสอบนี้วินิจฉัยเศษเหลือหลังเลือกแบบจำลองค่าเฉลี่ยแล้ว จึงต่างจากการอธิบายการถดถอย OLS ดู คู่มือการถดถอย OLS สำหรับสมการและสมมติฐาน

หลังประมาณสมการค่าเฉลี่ย ให้นำกำลังสองของเศษเหลือไปถดถอยกับค่าคงที่และกำลังสองที่ล่าช้าของตัวมันเอง สมการคือ:

e_t^2 = a_0 + a_1 e_{t-1}^2 + ... + a_q e_{t-q}^2 + v_t

สมมติฐานศูนย์คือ H0: a_1 = ... = a_q = 0 หมายความว่ากำลังสองของนวัตกรรมที่ล่าช้าไม่มีส่วนเชิงเส้นร่วมกันในแบบจำลองเสริมและลำดับ q ที่เลือก สมมติฐานทางเลือกคือมีสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งตัวไม่เท่ากับศูนย์

ภายใต้เงื่อนไขตัวอย่างขนาดใหญ่ตามปกติ สถิติ Lagrange multiplier LM=M*R^2 มีการแจกแจงโดยประมาณเป็น χ²(q) โดย M คือจำนวนแถวที่ใช้ได้ในสมการถดถอยเสริมหลังจัดแนวค่าล่าช้าแล้ว ซึ่งอาจไม่เท่ากับจำนวนข้อมูลตั้งต้น

สมมติว่าในตัวอย่างสมมติทั้งหมด q=5, M=300 และ R²=0.018 ดังนั้น LM=5.4 ค่าวิกฤตโดยประมาณที่ระดับ 5% สำหรับ χ²(5) คือ 11.07 จึงไม่ปฏิเสธ H0 ที่ระดับ 5% ในตัวอย่างนี้

การไม่ปฏิเสธหมายความว่าข้อมูลและข้อกำหนดแบบจำลองนี้ยังไม่มีหลักฐานเพียงพอที่จะคัดค้านสมมติฐานศูนย์ที่ระดับดังกล่าว ไม่ได้พิสูจน์ว่าความแปรปรวนคงที่ ไม่ได้ตัดความสัมพันธ์ที่ลำดับอื่น และไม่ได้พยากรณ์ผลตอบแทนในอนาคต

q กำหนดจำนวนค่าล่าช้าที่ทดสอบ ลำดับสั้นอาจพลาดความสัมพันธ์ที่ค่อย ๆ ลดลง ส่วนลำดับยาวทำให้จำนวนแถวที่ใช้ได้ลดลงจากการจัดแนวค่า และเพิ่มสัมประสิทธิ์ ซึ่งอาจทำให้ผลไม่นิ่งเมื่อข้อมูลมีจำกัด

เลือก q ให้สอดคล้องกับความถี่ของข้อมูลและคำถามวิเคราะห์ พร้อมบันทึกเหตุผล แสดงความไวของผลต่อค่าลำดับที่สมเหตุสมผลหลายค่า แทนการเลือกเฉพาะค่าที่ให้ p-value ต่ำที่สุด การทดสอบหลายลำดับแล้วรายงานเพียงผลเดียวก็ทำให้เกิดปัญหาการทดสอบหลายครั้ง

การทดสอบ McLeod–Li ตรวจสหสัมพันธ์ในตัวเองของกำลังสองเศษเหลือหลายลำดับ ดู งานวิจัยของ McLeod และ Li นี่เป็นการตรวจสอบเสริมเรื่องความสัมพันธ์ของขนาดข้อผิดพลาด ไม่ใช่หลักฐานว่าทิศทางผลตอบแทนคาดการณ์ได้

ผลอาจต่างกันตามวิธีสร้างการทดสอบ ลำดับความล่าช้า และขนาดตัวอย่าง ไม่มีการทดสอบใดระบุสาเหตุของความสัมพันธ์ได้ด้วยตัวเอง หรือพิสูจน์ว่ารูปแบบนั้นมีสาเหตุทางเศรษฐกิจ ไม่ใช่ปัญหาการวัดหรือการเปลี่ยนระบอบ

พลวัตค่าเฉลี่ยที่ตกหล่น ค่าผิดปกติ การเปลี่ยนแปลงเชิงโครงสร้าง หางหนา หรือข้อมูลสั้น อาจกระทบการทดสอบที่อาศัยการประมาณสำหรับตัวอย่างขนาดใหญ่ การเปลี่ยนช่วงข้อมูลหรือลำดับความล่าช้าก็อาจเปลี่ยนผลได้

ตรวจสอบเวลาของข้อมูล เศษเหลือจากสมการค่าเฉลี่ย และความเสถียรระหว่างช่วงเวลา พร้อมรายงานตัวอย่าง ลำดับ และระดับการทดสอบ หากเปรียบเทียบหลายลำดับหรือหลายแบบจำลอง ให้ระบุไว้ เพราะ p-value เดียวไม่ครอบคลุมความไม่แน่นอนจากกระบวนการค้นหาทั้งหมด

หากพบหลักฐานของความสัมพันธ์ในกำลังสองของเศษเหลือ ARCH หรือ GARCH อาจเป็นแบบจำลองสำหรับความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไข แต่การทดสอบไม่ได้เลือกแบบจำลองให้ และไม่ได้พิสูจน์ว่ารุ่นใดถูกต้อง ดู คู่มือการกระจุกตัวของความผันผวนและ GARCH จากนั้นตรวจเศษเหลือของแบบจำลองใหม่และพยากรณ์ความแปรปรวนนอกตัวอย่าง

การทดสอบ ARCH LM ไม่ได้เลือกค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานสำหรับการอนุมานสัมประสิทธิ์ถดถอย นั่นเป็นคนละคำถามกับโครงสร้างความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไข ดู คู่มือค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานแบบทนทาน เมื่อต้องเลือกการประมาณโควาเรียนซ์ของสัมประสิทธิ์