DCC-GARCH: ประมาณค่าสหสัมพันธ์ระหว่างสินทรัพย์ที่เปลี่ยนตามเวลา

เมทริกซ์โควาเรียนซ์ไม่ได้เป็นเพียงรายการความสัมพันธ์ระยะยาว ณ เวลาตัดสินใจ นักลงทุนอาจต้องการทราบความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขของผลตอบแทนแต่ละสินทรัพย์และโควาเรียนซ์แบบมีเงื่อนไขระหว่างสินทรัพย์ทุกคู่ โดยใช้ข้อมูลที่ทราบได้ ณ เวลานั้น หากความผันผวนและการเคลื่อนไหวร่วมกันเปลี่ยนไปตามเวลา เมทริกซ์เดียวที่คำนวณจากทั้งตัวอย่างจะเฉลี่ยช่วงตลาดสงบ ช่วงตึงเครียด และช่วงที่อาจเกิดการเปลี่ยนแปลงเชิงโครงสร้างเข้าด้วยกัน

DCC-GARCH เป็นวิธีหนึ่งที่ทำให้เมทริกซ์สหสัมพันธ์แบบมีเงื่อนไขเปลี่ยนแปลงได้ โดยยังคงแบบจำลองให้กระชับ บทความปี 2002 ของ Robert Engle เสนอข้อกำหนดสหสัมพันธ์แบบมีเงื่อนไขเชิงพลวัตที่รวมแบบจำลองความผันผวนตัวแปรเดียวกับสมการเวียนเกิดของสหสัมพันธ์ที่ใช้พารามิเตอร์ไม่มาก (Engle, 2002) วิธีนี้รับมือปัญหาเชิงปฏิบัติ: แบบจำลองโควาเรียนซ์ที่ไม่มีข้อจำกัดจะต้องใช้พารามิเตอร์เพิ่มขึ้นมากเมื่อจำนวนสินทรัพย์มากขึ้น

วิธีนี้เหมาะเมื่อคำถามคือความพึ่งพากันแบบมีเงื่อนไขเป็นอย่างไร หลังจากคำนึงถึงความผันผวนที่เปลี่ยนไปของแต่ละอนุกรมแล้ว แต่ไม่ได้บอกเหตุผลที่สินทรัพย์เคลื่อนไหวไปด้วยกัน หากต้องการรู้จักความแปรปรวนของอนุกรมเดียวที่เปลี่ยนตามเวลา ดู การกระจุกตัวของความผันผวนและ GARCH ส่วนข้อจำกัดของการตีความสหสัมพันธ์ระหว่างคู่เงินว่าเป็นความเสี่ยงร่วม ดู คู่มือสหสัมพันธ์ของคู่เงินตรา

ให้ \(r_t\) เป็นเวกเตอร์ผลตอบแทนของสินทรัพย์ \(N\) รายการ และให้ \(\mu_t\) เป็นค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไข กำหนดนวัตกรรมเป็น \(\epsilon_t=r_t-\mu_t\) DCC แยกเมทริกซ์โควาเรียนซ์แบบมีเงื่อนไขได้ดังนี้

\[ H_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal{F}_{t-1})=D_tR_tD_t, \]

โดย \(\mathcal{F}_{t-1}\) คือข้อมูลที่ทราบก่อนสังเกตเวลา \(t\), \(D_t=\operatorname{diag}(\sigma_{1,t},\ldots,\sigma_{N,t})\) คือเมทริกซ์แนวทแยงที่มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแบบมีเงื่อนไข และ \(R_t\) คือเมทริกซ์สหสัมพันธ์แบบมีเงื่อนไข

\(\sigma_{i,t}^2\) ของแต่ละสินทรัพย์อาจจำลองด้วยสมการในตระกูล GARCH ตัวแปรเดียว เช่น

\[ \sigma_{i,t}^{2}=\omega_i+\alpha_i\epsilon_{i,t-1}^{2}+\beta_i\sigma_{i,t-1}^{2}. \]

แบบจำลองส่วนเพิ่มนี้ตอบว่าขนาดนวัตกรรมของสินทรัพย์ \(i\) เปลี่ยนตามประวัติของตัวเองอย่างไร ไม่ได้หมายความว่าสหสัมพันธ์กับสินทรัพย์ \(j\) เปลี่ยนตามไปด้วย ในทางกลับกัน การเปลี่ยนแปลงของ \(R_t\) ก็ไม่ได้บอกว่าความผันผวนของสินทรัพย์ใดกำลังสูงขึ้น

การแยกส่วนนี้สำคัญ เพราะโควาเรียนซ์รวมผลทั้งสองด้านไว้ด้วยกัน

\[ H_{ij,t}=\sigma_{i,t}\sigma_{j,t}\rho_{ij,t}. \]

โควาเรียนซ์อาจเพิ่มขึ้นเพราะความผันผวนส่วนเพิ่มของสินทรัพย์หนึ่งหรือทั้งคู่เพิ่มขึ้น แม้ \(\rho_{ij,t}\) จะคงที่ก็ตาม DCC พยายามประมาณส่วนที่เหลือซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงของสหสัมพันธ์แบบมีเงื่อนไขโดยเฉพาะ นี่คือความแตกต่างสำคัญจากการฟิต GARCH แยกแต่ละสินทรัพย์แล้วสมมติให้โควาเรียนซ์ของผลตอบแทนดิบคงที่

หลังประมาณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนส่วนเพิ่มแบบมีเงื่อนไขแล้ว ให้คำนวณนวัตกรรมที่ปรับมาตรฐาน

\[ z_t=D_t^{-1}\epsilon_t. \]

หากแบบจำลองส่วนเพิ่มเหมาะสม ความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขของแต่ละองค์ประกอบใน \(z_t\) ควรอยู่ใกล้หนึ่ง แต่องค์ประกอบต่าง ๆ ยังอาจพึ่งพากัน ณ เวลาเดียวกันได้ รูปแบบที่เกิดร่วมกันนี่เองเป็นข้อมูลสำหรับอัปเดตสหสัมพันธ์ การปรับมาตรฐานช่วยป้องกันไม่ให้มองการเคลื่อนไหวดิบขนาดใหญ่ของสินทรัพย์ที่ปกติมีความผันผวนสูงว่าเป็นหลักฐานของความพึ่งพาที่แรงกว่าการเคลื่อนไหวขนาดใกล้เคียงกันหลังปรับมาตรฐานในสินทรัพย์อื่นโดยอัตโนมัติ

ในทางปฏิบัติ ค่าส่วนเหลือที่ปรับมาตรฐานแล้วเป็นค่าประมาณ ไม่ใช่ข้อเท็จจริงที่สังเกตได้โดยตรง แบบจำลองค่าเฉลี่ยที่ไม่เหมาะสมอาจทิ้งรูปแบบที่คาดการณ์ได้ไว้ใน \(\epsilon_t\) ส่วนแบบจำลองความผันผวนที่ไม่ดีอาจทิ้งขนาดที่เปลี่ยนไปไว้ใน \(z_t\) ขั้นตอนสหสัมพันธ์อาจดูดซับปัญหาเหล่านี้และทำให้ \(R_t\) บิดเบือนได้ หางหนา ค่าผิดปกติ วันที่ขาด ช่วงเวลาซื้อขายที่ไม่ตรงกัน การดำเนินการกับหลักทรัพย์ และราคาที่ล้าสมัยก็มีผลต่อค่าส่วนเหลือที่ส่งเข้าสมการเวียนเกิดเช่นกัน

Engle และ Sheppard อธิบายวิธีสองขั้น: ประมาณแบบจำลอง GARCH ตัวแปรเดียวก่อน แล้วจึงประมาณพารามิเตอร์สหสัมพันธ์จากค่าส่วนเหลือที่ปรับมาตรฐานแล้ว (Engle and Sheppard, 2001) การแยกฟิตแบบจำลองส่วนเพิ่มช่วยให้ DCC คำนวณได้สะดวก แต่ผลสหสัมพันธ์ในขั้นที่สองต้องตีความภายใต้ข้อกำหนดของขั้นแรกและวิธีจัดแนวอนุกรมข้อมูลที่ใช้จริง

DCC มาตรฐานอัปเดตเมทริกซ์เสริม \(Q_t\) ที่เป็นบวกแน่นอนก่อน

\[ Q_t=(1-a-b)\bar{Q}+a z_{t-1}z_{t-1}^{\top}+bQ_{t-1}. \]

\(\bar Q\) คือเมทริกซ์ระยะยาวของนวัตกรรมที่ปรับมาตรฐานแล้ว, \(a\) ควบคุมว่าการเคลื่อนไหวร่วมระยะหลังส่งผลต่อการอัปเดตเพียงใด และ \(b\) ควบคุมความต่อเนื่องจาก \(Q\) ก่อนหน้า ในข้อกำหนด DCC แบบสเกลาร์ที่ใช้กันทั่วไป หาก \(a\) และ \(b\) ไม่เป็นลบและ \(a+b<1\) พร้อมกับ \(\bar Q\) และค่าเริ่มต้นเป็นบวกแน่นอน สมการเวียนเกิดตามปกติจะคงความเป็นบวกแน่นอนไว้ อย่างไรก็ตาม การอยู่กับที่แบบเข้มงวดและการอนุมานที่ใช้ได้ยังขึ้นอยู่กับแบบจำลองทั้งหมดและสมมติฐาน ข้อจำกัดเหล่านี้เป็นส่วนหนึ่งของข้อกำหนดที่เลือก ไม่ใช่หลักประกันครอบจักรวาลสำหรับ DCC ทุกแบบ

โดยทั่วไป \(Q_t\) ยังไม่ใช่เมทริกซ์สหสัมพันธ์ เพราะสมาชิกบนแนวทแยงไม่จำเป็นต้องเท่ากับหนึ่ง กำหนด \(S_t=\operatorname{diag}(Q_t)\) แล้วปรับมาตรฐานดังนี้

\[ R_t=S_t^{-1/2}Q_tS_t^{-1/2}. \]

ผลคือสมาชิกบนแนวทแยงเท่ากับหนึ่ง และสมาชิกนอกแนวทแยงเป็นสหสัมพันธ์แบบมีเงื่อนไขที่ไม่มีหน่วย จากนั้นคำนวณโควาเรียนซ์แบบมีเงื่อนไขด้วย \(H_t=D_tR_tD_t\) การแยก \(Q_t\), \(R_t\) และ \(H_t\) ช่วยป้องกันความเข้าใจผิดที่พบบ่อย: สมการเวียนเกิดอัปเดตเมทริกซ์ความพึ่งพาเสริม การปรับมาตรฐานทำให้ได้สหสัมพันธ์ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานส่วนเพิ่มเปลี่ยนสหสัมพันธ์กลับเป็นสเกลผลตอบแทนของสินทรัพย์ บทบาทของการปรับมาตรฐานเป็นแกนสำคัญของวิธีที่อธิบายไว้ใน Engle (2002)

<!-- learn:illustration --> <!-- ภาพแนวคิดไร้ข้อความ: เส้นผลตอบแทนแยกกันซึ่งมีกรอบความผันผวนเปลี่ยนแปลงต่างกัน ไหลมาบรรจบเป็นแถบความพึ่งพากันที่ค่อย ๆ เปลี่ยนไป ภาพอธิบายแนวคิด ไม่ใช่ข้อมูลตลาดหรือการพยากรณ์ -->

การใช้งานแบบสองขั้นที่พบบ่อยเริ่มจากฟิตค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขและความแปรปรวนตระกูล GARCH ตัวแปรเดียวให้สินทรัพย์แต่ละรายการ จากนั้นใช้แบบจำลองที่ฟิตแล้วคำนวณ \(z_t\) และประมาณพารามิเตอร์ DCC จากส่วนสหสัมพันธ์ของฟังก์ชันภาวะน่าจะเป็นหรือควาซิไลค์ลิฮูด ขั้นแรกอาจใช้ภาวะน่าจะเป็นแบบเกาส์ แม้ผลตอบแทนจะไม่ได้แจกแจงแบบเกาส์ วิธีนี้ยังใช้เป็นควาซิแมกซิมัมไลค์ลิฮูดได้ภายใต้เงื่อนไขความสม่ำเสมอที่เหมาะสม แต่ค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานและการอนุมานต้องสอดคล้องกับตัวประมาณและสมมติฐานที่ใช้จริง

การแบ่งขั้นคำนวณได้ง่ายกว่าการประมาณระบบ GARCH หลายตัวแปรที่ไม่มีข้อจำกัดทั้งหมด แต่แต่ละขั้นยังเชื่อมโยงกัน ความไม่แน่นอนของพารามิเตอร์ส่วนเพิ่มส่งผลต่อค่าส่วนเหลือที่ปรับมาตรฐาน และต่อเนื่องไปถึงค่าประมาณขั้นที่สอง ค่า \(a\) หรือ \(b\) ที่รายงานจึงไม่ใช่การวัดค่าคงที่ของตลาดที่ไม่มีวันเปลี่ยน การตีความขึ้นอยู่กับตัวอย่าง แบบจำลองส่วนเพิ่ม ค่าเริ่มต้น สมมติฐานการแจกแจง และความคงที่ของพลวัตสหสัมพันธ์

\(\bar Q\) มักคำนวณจากโควาเรียนซ์ตัวอย่างของค่าส่วนเหลือที่ปรับมาตรฐาน แต่คำนิยามและการแก้ไขที่ใช้จริงแตกต่างกัน การนำไปใช้ต้องบอกวิธีประมาณ \(\bar Q\), การตั้งค่าเริ่มต้น \(Q_0\), การจัดการข้อมูลที่หายไป, ข้อจำกัด และการคำนวณภาวะน่าจะเป็น การหาค่าเหมาะที่สุดเชิงตัวเลขเมื่อ \(a+b\) ใกล้หนึ่ง, \(\bar Q\) ที่เกือบเอกฐาน หรือชุดสินทรัพย์ที่ใหญ่เกินไปอาจทำให้ไม่เสถียร ควรรายงานการวินิจฉัยการลู่เข้าและทดสอบความไวเมื่อเปลี่ยนข้อกำหนดส่วนเพิ่มหรือช่วงเวลาตัวอย่างอย่างสมเหตุสมผล

สำหรับธุรกรรมที่เวลาไม่สม่ำเสมอ การใช้ผลตอบแทนที่ต้องตรงเวลาเดียวกันของ DCC มาตรฐานอาจไม่เหมาะหากไม่มีการออกแบบการสุ่มตัวอย่างอย่างรอบคอบ อาจต้องใช้ตัวประมาณอื่นสำหรับข้อมูลที่สังเกตไม่พร้อมกัน ดู คู่มือโควาเรียนซ์ Hayashi–Yoshida การหดตัวของเป้าหมายโควาเรียนซ์ที่มีสัญญาณรบกวนตามที่อธิบายใน การหดตัวของโควาเรียนซ์ Ledoit–Wolf ก็เป็นอีกขั้นตอนหนึ่ง ไม่ควรสับสนกับสมการเวียนเกิดสหสัมพันธ์เชิงพลวัตของ DCC

พิจารณานวัตกรรมที่ปรับมาตรฐานแล้วสองรายการและการอัปเดต DCC ที่สมมติขึ้น กำหนด \(a=0.05\), \(b=0.90\), \(\bar q_{12}=0.10\), \(q_{12,t-1}=0.30\), \(z_{1,t-1}=1.5\) และ \(z_{2,t-1}=1.0\) ตัวเลขเหล่านี้สร้างขึ้นเพื่อแสดงวิธีคำนวณเท่านั้น ไม่ใช่ค่าประมาณจากข้อมูลตลาด การอัปเดตสมาชิกนอกแนวทแยงคือ

\[ q_{12,t}=(1-0.05-0.90)(0.10)+0.05(1.5)(1.0)+0.90(0.30)=0.350. \]

เพื่อแสดงการปรับมาตรฐาน สมมติว่าสมาชิกบนแนวทแยงที่สร้างขึ้นคือ \(\bar q_{11}=\bar q_{22}=1\) และ \(q_{11,t-1}=q_{22,t-1}=1\) สมการเวียนเกิดเดียวกันให้ผลว่า

\[ q_{11,t}=0.05(1)+0.05(1.5^2)+0.90(1)=1.0625,\qquad q_{22,t}=0.05(1)+0.05(1.0^2)+0.90(1)=1. \]

ดังนั้น สหสัมพันธ์หลังปรับมาตรฐานคือ

\[ \rho_{12,t}=\frac{0.350}{\sqrt{1.0625\cdot1}}\approx0.340. \]

สมาชิกนอกแนวทแยงของเมทริกซ์เสริมขยับจาก 0.30 เป็น 0.35 แต่สหสัมพันธ์ที่รายงานอยู่ที่ประมาณ 0.34 เพราะแนวทแยงของ \(Q_t\) เปลี่ยนไปด้วย การรายงาน \(q_{12,t}=0.35\) ราวกับเป็นสหสัมพันธ์จึงข้ามขั้นตอนการปรับมาตรฐาน ตัวอย่างนี้แสดงสมการเวียนเกิดเพียงหนึ่งขั้น ไม่ได้บอกนัยสำคัญทางสถิติ ความต่อเนื่องในอนาคต น้ำหนักพอร์ตที่เหมาะสม หรือคุณค่าของการซื้อขาย

DCC มาตรฐานใช้พารามิเตอร์ไม่มาก เพราะมักใช้พารามิเตอร์สเกลาร์ชุดเดียวกันควบคุมการตอบสนองและความต่อเนื่องของทุกคู่ ข้อจำกัดนี้มีประโยชน์เมื่อมีสินทรัพย์จำนวนมาก แต่อาจเข้มงวดเกินไปหากแต่ละคู่ปรับตัวด้วยความเร็วไม่เท่ากัน อีกทั้งแบบจำลองที่เรียกว่า DCC อาจใช้พารามิเตอร์ ข้อจำกัด วิธีประมาณ หรือธรรมเนียมการตั้งค่าเริ่มต้นแตกต่างกัน จึงควรระบุข้อกำหนดให้ชัดเจน

งาน corrected DCC ของ Aielli แสดงให้เห็นว่าตัวประมาณ DCC แบบดั้งเดิมและการตีความพารามิเตอร์สหสัมพันธ์อาจมีปัญหาเมื่อจำนวนสินทรัพย์เพิ่มขึ้น และเสนอ cDCC ที่ใช้สมการเวียนเกิดซึ่งปรับแก้แล้ว (Aielli, 2013) cDCC ไม่ใช่แค่ชื่ออื่นของ DCC มาตรฐาน ความแตกต่างนี้สำคัญเป็นพิเศษเมื่อขยายแบบจำลองไปยังสินทรัพย์จำนวนมาก หรือตีความค่าสัมประสิทธิ์ที่ประมาณได้ในเชิงโครงสร้าง

ข้อกำหนด generalized DCC แบบไม่สมมาตรรับมือข้อจำกัดอีกด้านหนึ่ง: ช็อกบวกและลบที่ปรับมาตรฐานแล้วอาจส่งผลต่อสหสัมพันธ์ในอนาคตต่างกัน แบบจำลอง AG-DCC ของ Cappiello, Engle และ Sheppard รองรับพารามิเตอร์ผลกระทบของข่าวและการปรับเรียบที่ต่างกันตามอนุกรม รวมถึงความไม่สมมาตรในสหสัมพันธ์แบบมีเงื่อนไข (Cappiello, Engle, and Sheppard, 2006) AG-DCC ยืดหยุ่นกว่าสมการเวียนเกิด DCC แบบสเกลาร์ร่วม จึงเปลี่ยนทั้งจำนวนพารามิเตอร์ ข้อจำกัด และการตีความ ไม่ควรแทนที่ DCC มาตรฐานโดยไม่บอก หรือสมมติว่าดีกว่าโดยไม่ประเมิน

\(R_t\) ที่ฟิตแล้วอธิบายสหสัมพันธ์แบบมีเงื่อนไขตามแบบจำลอง ภายใต้ความถี่ข้อมูล ช่วงตัวอย่าง ข้อกำหนดค่าเฉลี่ย แบบจำลองความผันผวนส่วนเพิ่ม และตัวแปร DCC ที่เลือกไว้ ไม่ได้ระบุเหตุและผลของการส่งผ่านแรงกระแทก สหสัมพันธ์ที่เพิ่มขึ้นช่วงเศรษฐกิจถดถอยอาจมาจากข่าวร่วม การเปลี่ยนองค์ประกอบ สภาพคล่อง แบบจำลองความผันผวนที่ระบุไม่เหมาะสม หรือกลไกอื่น ค่าประมาณเพียงค่าเดียวแยกคำอธิบายเหล่านี้ไม่ได้

เพื่อวัดความเสี่ยง ให้เปรียบเทียบการพยากรณ์โควาเรียนซ์เชิงพลวัตกับเกณฑ์เทียบที่สมเหตุสมผล เช่น โควาเรียนซ์ตัวอย่างแบบหน้าต่างเลื่อนหรือแบบจำลองสหสัมพันธ์คงที่ ใช้เฉพาะข้อมูลที่มี ณ จุดเริ่มพยากรณ์แต่ละครั้ง เปรียบเทียบชุดสินทรัพย์และระยะพยากรณ์เดียวกัน และรายงานฟังก์ชันการสูญเสีย หากจะนำไปใช้กับพอร์ต ให้ติดตามผลต่อเนื่องของน้ำหนัก การกระจุกตัว มูลค่าซื้อขาย การจัดหาเงินทุน และต้นทุนธุรกรรม สหสัมพันธ์ที่ประมาณได้สูงขึ้นอาจลดประโยชน์จากการกระจายความเสี่ยงภายใต้แบบจำลองความเสี่ยงเฉพาะ แต่ไม่ได้พยากรณ์ว่าสินทรัพย์ใดจะปรับตัวลง

ตรวจสอบว่าสหสัมพันธ์ที่ประมาณได้อยู่ในขอบเขตที่ใช้ได้หรือไม่, \(R_t\) เป็นบวกแน่นอนหรือไม่ และค่าส่วนเหลือส่วนเพิ่มที่ปรับมาตรฐานแล้วยังมีความสัมพันธ์ตามเวลาหรือความแปรปรวนที่เปลี่ยนไปหรือไม่ ทดสอบความไวต่อชุดสินทรัพย์ การตั้งค่าเริ่มต้น ค่าผิดปกติ ช่วงตัวอย่าง และตัวแปรของแบบจำลอง พารามิเตอร์ความต่อเนื่องที่ใกล้หนึ่งอาจทำให้ค่าประมาณตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงโครงสร้างช้า สมการเวียนเกิดที่ราบเรียบก็อาจตามการเปลี่ยนระบอบอย่างฉับพลันไม่ทัน หากมีกราฟหลายคู่หรือแบบจำลองหลายตัวเลือก ควรกำหนดเกณฑ์ก่อนและเก็บผลเปรียบเทียบนอกตัวอย่างไว้ เพื่อลดการเลือกตีความเฉพาะผลที่ต้องการ

ควรเข้าใจ DCC-GARCH ว่าเป็นแบบจำลองโควาเรียนซ์แบบมีเงื่อนไขที่กระชับ: สมการส่วนเพิ่มประมาณขนาดที่เปลี่ยนไป สมการเวียนเกิดของความพึ่งพากันติดตามการเคลื่อนไหวร่วมของนวัตกรรมที่ปรับมาตรฐาน และการปรับมาตรฐานแปลงเมทริกซ์เสริมให้เป็นสหสัมพันธ์ หากระบุสมมติฐานชัดและประเมินการพยากรณ์แล้ว เมทริกซ์ที่ฟิตอาจใช้ประกอบการวิเคราะห์ความเสี่ยงได้ แต่เพียงลำพังไม่ได้พิสูจน์ว่าเฮดจ์มีเสถียรภาพ ไม่ได้อธิบายช็อก และไม่ได้ยืนยันว่ากลยุทธ์จะสร้างผลตอบแทน