การทดสอบ Clark–West สำหรับพยากรณ์แบบซ้อนกัน: สูตร ตัวอย่าง และข้อจำกัด

สมมติว่าแบบจำลองจำกัดใช้ค่าคงที่พยากรณ์ผลตอบแทนเดือนหน้า ส่วนแบบจำลองใหญ่เพิ่มอัตราส่วนมูลค่าเข้าไป แบบจำลองจำกัดเป็นกรณีพิเศษของแบบจำลองใหญ่ เพราะเมื่อตั้งค่าสัมประสิทธิ์เพิ่มเติมเป็นศูนย์ก็จะกลับไปเป็นแบบจำลองอ้างอิง แม้ค่าสัมประสิทธิ์นี้มีค่าจริงเป็นศูนย์ การประมาณค่าก็ยังอาจเพิ่มความผันผวนจากตัวอย่างให้ค่าพยากรณ์ของแบบจำลองใหญ่ได้ ค่าเฉลี่ยกำลังสองของความคลาดเคลื่อนพยากรณ์ (MSPE) จึงอาจสูงขึ้น ทั้งที่แบบจำลองทั้งสองมีข้อมูลพยากรณ์ในประชากรเท่ากัน

การปรับ Clark–West มุ่งจัดการสัญญาณรบกวนจากการประมาณนี้ ในการเปรียบเทียบ MSPE นอกตัวอย่างของพยากรณ์แบบซ้อนกัน คำถามคือแบบจำลองใหญ่เพิ่มคุณค่าการพยากรณ์จากแบบจำลองจำกัดหรือไม่ ประเด็นนี้เฉพาะเจาะจงกว่าการเปรียบเทียบความสูญเสียแบบจับคู่ทั่วไปในคู่มือการทดสอบ Diebold–Mariano; การแจกแจงอ้างอิงทั่วไปของ DM ไม่ได้ใช้กับแบบจำลองซ้อนกันได้โดยอัตโนมัติ Clark และ McCracken วิเคราะห์คุณสมบัติแบบอสมมาตรและในตัวอย่างจำกัดที่แตกต่างกันของการทดสอบพยากรณ์แบบซ้อนกัน ส่วน Clark และ West พัฒนาวิธีปรับ MSPE และการอนุมานโดยประมาณ Clark และ McCracken (2001)00071-9), Clark และ West (2007)

แบบจำลองจำกัดและแบบจำลองทางเลือกที่ใหญ่กว่าต้องพยากรณ์เป้าหมายเดียวกัน yₜ₊ₕ แบบจำลองใหญ่ต้องมีแบบจำลองจำกัดเป็นกรณีพิเศษ โดยทั่วไปคือเมื่อตั้งสัมประสิทธิ์เพิ่มเติมอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ การมีตัวแปรมากกว่า ซับซ้อนกว่า หรือมีความพอดีในตัวอย่างดีกว่า ไม่ได้ยืนยันว่าซ้อนกัน

ในแต่ละจุดเริ่มพยากรณ์ ให้ใช้เฉพาะข้อมูลที่ทราบได้ ณ เวลานั้น ประมาณแบบจำลองด้วยช่วงฝึกตามลำดับเวลา แล้วประเมินในช่วงหลัง ใช้เป้าหมาย ระยะพยากรณ์ หน่วย จุดเริ่ม และผลลัพธ์จริงชุดเดียวกัน การประมาณซ้ำแบบขยายหรือหน้าต่างเลื่อนอาจเหมาะสม แต่ควรระบุวิธีและเก็บค่าพยากรณ์ที่สร้างจริงในแต่ละจุดไว้ การเปิดดูช่วงประเมินซ้ำเพื่อเลือกตัวแปรแฝง การแปลง หรือระยะพยากรณ์ ทำให้ช่วงนั้นเป็นส่วนหนึ่งของการคัดเลือกแบบจำลองด้วย คู่มือ CAViaR แสดงให้เห็นว่าพยากรณ์ควอนไทล์ส่วนหางต้องประเมินด้วยความสูญเสียที่เหมาะกับเป้าหมาย ไม่ควรรวมเข้ากับการเทียบพยากรณ์ค่าเฉลี่ยโดยไม่แยกแยะ

การปรับนี้ไม่แก้ปัญหาการใช้ข้อมูลอนาคต ตัวอย่างที่ไม่ตรงกัน การใช้ข้อมูลปรับปรุงย้อนหลังเสมือนว่ารู้ข้อมูลนั้นแล้ว หรือการค้นหาแบบจำลองที่ไม่เปิดเผย ควรรายงานช่วงประมาณเริ่มต้น จำนวนจุดเริ่มพยากรณ์ ระยะพยากรณ์ รุ่นของข้อมูล และวิธีปรับแบบจำลองซ้ำ

ให้ f₀,t+h เป็นค่าพยากรณ์จากแบบจำลองจำกัด f₁,t+h เป็นค่าพยากรณ์จากแบบจำลองใหญ่ และ eⱼ,t+h = yₜ₊ₕ − fⱼ,t+h เป็นความคลาดเคลื่อนจากการพยากรณ์ j เมื่อใช้ความสูญเสียแบบกำลังสอง ผลต่างที่ปรับแล้วของ Clark–West ต่อช่วงคือ

dCW,t+h = (e₀,t+h)² − [(e₁,t+h)² − (f₀,t+h − f₁,t+h)²]

สูตรนี้คือความคลาดเคลื่อนกำลังสองของแบบจำลองจำกัด ลบด้วยของแบบจำลองใหญ่ แล้วบวกกำลังสองของระยะห่างระหว่างค่าพยากรณ์ พจน์สุดท้ายประมาณสัญญาณรบกวนเพิ่มเติมจากพารามิเตอร์ที่ต้องประมาณ ภายใต้สมมติฐานว่าง Clark และ West อธิบายการปรับว่าเป็นการลด MSPE ตัวอย่างของแบบจำลองใหญ่ด้วยพจน์ระยะห่างนี้ก่อนนำมาเปรียบเทียบ Clark และ West (2007)

หาค่าเฉลี่ยของผลต่างที่ปรับแล้วจากจุดประเมินร่วม P จุด: mean(dCW) = (1/P) Σ dCW,t+h หากผลลัพธ์และค่าพยากรณ์วัดเป็นเบซิสพอยต์ ค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองและผลต่างจะมีหน่วย bp² ค่าเฉลี่ยที่ปรับแล้วเป็นบวกชี้ไปทางแบบจำลองใหญ่ตามหลักเครื่องหมายนี้ นี่คือคะแนนเปรียบเทียบที่ปรับแล้ว ไม่ใช่ MSPE ที่เกิดขึ้นจริงของแบบจำลองใหญ่หรือค่าพยากรณ์สำหรับใช้ซื้อขาย

คำถามทั่วไปของ Clark–West คือแบบจำลองซ้อนที่ใหญ่กว่ามี MSPE ที่คาดหมายต่ำกว่าแบบจำลองจำกัดหรือไม่ สมมติฐานว่างระบุว่าส่วนที่เพิ่มเข้ามาไม่ได้ปรับปรุงการพยากรณ์ ส่วนสมมติฐานทางเลือกด้านเดียวสนับสนุนแบบจำลองใหญ่ ภายใต้สูตรข้างต้น ค่าเฉลี่ยผลต่างที่ปรับแล้วซึ่งเป็นบวกมากพอเมื่อเทียบกับค่าคลาดเคลื่อนมาตรฐานสนับสนุนสมมติฐานทางเลือก

ในสัญกรณ์ความสูญเสียที่ปรับแล้ว สมมติฐานใช้งานคือ H₀: E[dCW] = 0 เทียบกับ H₁: E[dCW] > 0 ทิศทางบวกมาจากการนำความสูญเสียของแบบจำลองจำกัดไว้ก่อน หากกลับลำดับการลบ เครื่องหมายก็จะกลับทิศตาม ควรระบุหลักเครื่องหมายพร้อมผลลัพธ์

โดยทั่วไปสถิติทดสอบคือค่าเฉลี่ยตัวอย่างของ dCW หารด้วยค่าคลาดเคลื่อนมาตรฐานที่ประมาณได้ Clark และ West แนะนำการทดสอบด้านเดียวแบบปกติโดยประมาณในกรณีที่ศึกษา โดยใช้ค่าคลาดเคลื่อนมาตรฐานทั่วไปหรือแบบทนทานต่อสหสัมพันธ์อนุกรมตามความเหมาะสม West (1996) พัฒนาการอนุมานเกี่ยวกับโมเมนต์ของฟังก์ชันเรียบของค่าพยากรณ์และความคลาดเคลื่อนนอกตัวอย่าง รวมถึงกรณีที่ค่าพยากรณ์ขึ้นกับพารามิเตอร์ที่ประมาณไว้ ค่า p ขึ้นกับการซ้อนกัน วิธีสร้างพยากรณ์ เป้าหมาย ความสูญเสีย และสมมติฐาน ไม่ใช่ความน่าจะเป็นว่าแบบจำลองใหญ่เป็นจริง และไม่ใช่หลักฐานเชิงเหตุและผล

สมมติผลลัพธ์สี่ค่าเป็นเบซิสพอยต์: [0, 1, −1, 0] ค่าพยากรณ์ของแบบจำลองจำกัดคือ [−1, 0, 0, 0] ส่วนแบบจำลองใหญ่คือ [−1.5, 0.5, −0.5, 0.5] ความคลาดเคลื่อนกำลังสองของแบบจำกัดคือ [1, 1, 1, 0] จึงมี MSPE เฉลี่ย 0.75 bp² ของแบบจำลองใหญ่คือ [2.25, 0.25, 0.25, 0.25] และมี MSPE เฉลี่ย 0.75 bp² เช่นกัน

กำลังสองของผลต่างค่าพยากรณ์ (f₀ − f₁)² คือ [0.25, 0.25, 0.25, 0.25] เมื่อนำสูตร e₀² − e₁² + (f₀ − f₁)² มาใช้ จะได้ผลต่างที่ปรับแล้ว [−1, 1, 1, 0] bp² และค่าเฉลี่ย 0.25 bp² แม้ MSPE ดิบเท่ากัน แต่ค่าเฉลี่ยที่ปรับเป็นบวกเพราะชดเชยสัญญาณรบกวนจากการประมาณของแบบจำลองใหญ่

สี่ช่วงเวลานี้ใช้แสดงวิธีคำนวณเท่านั้น มีน้อยเกินไปที่จะประมาณความไม่แน่นอนอย่างน่าเชื่อถือหรือสรุปนัยสำคัญทางสถิติ ค่าเฉลี่ยที่ปรับแล้วเป็นบวกเพียงอย่างเดียวไม่ได้พิสูจน์ความได้เปรียบในการพยากรณ์จริง และตัวเลขทั้งหมดเป็นสมมติ ไม่ใช่ข้อมูลตลาด

<!-- learn:illustration -->

แม้พยากรณ์ล่วงหน้าหนึ่งช่วง ผลต่างความสูญเสียที่ปรับแล้วก็อาจมีสหสัมพันธ์อนุกรมได้ เมื่อเป้าหมาย ตัวแปรอธิบาย หรือช่วงประมาณเปลี่ยนไปตามเวลา พยากรณ์หลายช่วงที่ทับซ้อนกันยังใช้ผลลัพธ์จริงเดียวกันในจุดพยากรณ์ข้างเคียง ค่าคลาดเคลื่อนมาตรฐานที่ถือว่าทุกจุดเป็นอิสระอาจประเมินความไม่แน่นอนต่ำเกินไป

ประมาณค่าคลาดเคลื่อนมาตรฐานจากอนุกรมของผลต่างที่ปรับแล้วด้วยวิธีที่เหมาะกับการออกแบบ เช่น ค่าประมาณความแปรปรวนระยะยาวที่ทนทานต่อความแปรปรวนไม่คงที่และสหสัมพันธ์อนุกรม เมื่อเงื่อนไขรองรับ Clark และ West ระบุให้ใช้ค่าคลาดเคลื่อนมาตรฐานที่ทนทานต่อสหสัมพันธ์อนุกรมเมื่อความคลาดเคลื่อนของการพยากรณ์มีสหสัมพันธ์เช่นนั้น ระบุระยะพยากรณ์ ตัวประมาณความแปรปรวน เคอร์เนล ช่วงแบนด์วิดท์ และวิธีสุ่มซ้ำถ้าใช้ คู่มือบล็อกบูตสแตรป อธิบายเหตุผลที่การสุ่มซ้ำอนุกรมเวลาซึ่งมีความสัมพันธ์ต้องรักษาลำดับของข้อมูล บูตสแตรปทั่วไปไม่ได้สร้างสมมติฐานว่างของ Clark–West ให้อัตโนมัติ

วิธีจัดการความสัมพันธ์ขึ้นกับการออกแบบ ระยะพยากรณ์ที่ยาว เป้าหมายที่มีความคงทน การประมาณพารามิเตอร์ซ้ำ และความผันผวนที่เปลี่ยนไป อาจก่อความสัมพันธ์ยาวกว่าการทับซ้อนของช่วงแบบง่าย ควรเปรียบเทียบการตั้งค่าที่สมเหตุสมผล แทนการเลือกค่าที่ให้ p ต่ำที่สุด

การทดสอบพยากรณ์ของแบบจำลองซ้อนกันอาจมีการแจกแจงภายใต้สมมติฐานว่างที่ไม่เป็นมาตรฐาน โดยเฉพาะเมื่อทั้งตัวอย่างประมาณและตัวอย่างประเมินเพิ่มขึ้นพร้อมกัน Clark และ McCracken แสดงว่าการทดสอบความแม่นยำเท่ากันและการครอบคลุมสำหรับพยากรณ์แบบซ้อนมีคุณสมบัติแบบอสมมาตรและในตัวอย่างจำกัดต่างจากการเปรียบเทียบแบบจำลองที่ไม่ซ้อน Clark และ West สนับสนุนการอนุมานแบบปกติโดยประมาณในแบบจำลองที่ศึกษา แต่ไม่ได้รับรองความแม่นยำสำหรับทุกตัวอย่างจำกัด Clark และ McCracken (2001)00071-9), Clark และ West (2007)

ตัวอย่างประเมินขนาดเล็ก พารามิเตอร์เพิ่มจำนวนมาก แบบจำลองอ้างอิงระบุผิด การเลือกตัวแปรจากข้อมูล และวิธีประมาณแบบเลื่อนหรือแบบขยาย ล้วนส่งผลต่อขนาดและกำลังของการทดสอบได้ หากตัวอย่างหรือการออกแบบต่างจากงานวิจัย ควรพิจารณาค่าวิกฤตเฉพาะแบบจำลอง หรือวิธีจำลอง/บูตสแตรปที่กำหนดไว้อย่างรอบคอบ ระบุขนาดตัวอย่างทั้งสองช่วงและการแจกแจงอ้างอิงที่ใช้คำนวณค่า p

การทดสอบ Diebold–Mariano ถามว่าค่าความสูญเสียคาดหมายของพยากรณ์สองชุดเท่ากันหรือไม่ ภายใต้การเปรียบเทียบแบบจับคู่ทั่วไป ส่วน Clark–West เหมาะกับความคลาดเคลื่อนกำลังสองเมื่อแบบจำลองหนึ่งซ้อนอีกแบบ และพารามิเตอร์เพิ่มเติมทำให้ผลต่าง MSPE ดิบคลาดเคลื่อนภายใต้สมมติฐานว่าง อย่านำการปรับนี้ไปใช้กับแบบจำลองที่ไม่ซ้อนกันโดยไม่มีเหตุผลรองรับ งานต้นฉบับของ DM รองรับความสูญเสียหลายประเภท และกล่าวถึงความคลาดเคลื่อนที่ไม่จำเป็นต้องแจกแจงปกติหรือเป็นอิสระ เป็นงานที่เกี่ยวข้องกันแต่เป็นการทดสอบคนละอย่าง Diebold และ Mariano (1995)

ไม่มีการทดสอบใดแก้ปัญหาการลองเป้าหมาย ระยะพยากรณ์ แบบจำลองอ้างอิง และตัวแปรจำนวนมาก หากเลือกผลเปรียบเทียบสุดท้ายหลังค้นหาเป็นวงกว้าง ให้บันทึกกลุ่มแบบจำลองทั้งหมดและใช้วิธีที่ตอบคำถามเรื่องการค้นหานั้น คู่มือ White’s Reality Check และ Hansen’s SPA อธิบายการอนุมานสำหรับกลุ่มกฎการเทรดที่ผ่านการค้นหา

ผลด้านเดียวที่มีนัยสำคัญเป็นหลักฐานภายใต้สมมติฐานที่ระบุว่าแบบจำลองใหญ่ลดความคลาดเคลื่อนกำลังสองคาดหมายสำหรับเป้าหมายและการออกแบบที่ทดสอบ ไม่ได้พิสูจน์ความเป็นเหตุเป็นผล ความคงทนของสัญญาณ หรือกำไรจากกลยุทธ์ การประเมินกำไรต้องใช้กฎการซื้อขายแยกต่างหาก ข้อมูลประเมินที่ไม่ถูกใช้เลือกแบบจำลอง และสมมติฐานจริงเกี่ยวกับสเปรด ค่าธรรมเนียม สลิปเพจ ผลกระทบต่อตลาด การเงิน และข้อจำกัดความเสี่ยง

ระบุชื่อแบบจำลองจำกัดและแบบจำลองใหญ่ ข้อจำกัดที่ทำให้ซ้อนกัน เป้าหมาย ระยะพยากรณ์ หน่วย ช่วงประมาณ ตารางจุดพยากรณ์ วันประเมิน และกฎการใช้ตัวอย่างร่วมกัน อธิบายการประมาณพารามิเตอร์ซ้ำและการเก็บรักษาข้อมูลที่ทราบกับรุ่นข้อมูล ณ แต่ละจุด

รายงาน MSPE ดิบทั้งสองค่า ค่าเฉลี่ยผลต่างที่ปรับแล้ว หลักเครื่องหมาย ค่าคลาดเคลื่อนมาตรฐาน สมมติฐานทางเลือกด้านเดียว การแจกแจงหรือค่าวิกฤต ค่า p และตัวประมาณความสัมพันธ์ เปิดเผยจำนวนพารามิเตอร์เพิ่มเติม ขนาดตัวอย่าง การทดลองแบบจำลองอื่น และการใช้ช่วงประเมินในการออกแบบหรือไม่ รายละเอียดเหล่านี้ช่วยให้ผู้อ่านแยกการทดสอบแบบจำลองซ้อนออกจากการเปรียบเทียบพยากรณ์ทั่วไปและประเมินความไม่แน่นอนที่เหลือได้