อธิบาย CAViaR: Value at Risk แบบมีเงื่อนไขและออโตรีเกรสซีฟ

กำหนดให้ \(L_t=-r_t\) เป็นความเสียหายของพอร์ต ดังนั้นความเสียหายเป็นบวกและกำไรเป็นลบ สำหรับระดับความเชื่อมั่น \(\alpha\) ผลพยากรณ์ VaR หนึ่งช่วงเวลาคือควอนไทล์ด้านบนแบบมีเงื่อนไข \[ v_t^\alpha=Q_\alpha(L_t\mid\mathcal F_{t-1}), \] โดย \(\mathcal F_{t-1}\) ประกอบด้วยข้อมูลที่มีอยู่ก่อนสังเกตความเสียหายในช่วงเวลา \(t\) หาก \(\alpha=0.99\) เป้าหมายคือเกณฑ์ที่ความเสียหายในอนาคตประมาณ \(1-\alpha=1\%\) ควรเกิน เมื่อระบุควอนไทล์แบบมีเงื่อนไขได้ถูกต้อง ความเสียหายจริงอาจเกิน VaR ได้ไม่จำกัดจำนวน VaR จึงไม่ใช่เพดานความเสียหายสูงสุด

CAViaR ย่อจาก Conditional Autoregressive Value at Risk เป็นการกำหนดการเปลี่ยนแปลงของควอนไทล์นี้ตามเวลาด้วยสมการเวียนเกิด แทนที่จะประมาณการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขทั้งหมดแล้วค่อยดึงจุดส่วนหางออกมา แบบจำลองจะกำหนดจุดนั้นโดยตรง Engle และ Manganelli เสนอแบบจำลองกลุ่มนี้และประมาณพารามิเตอร์ด้วยการถดถอยควอนไทล์ (บทความปี 2004) ระดับควอนไทล์ที่เลือกมีความสำคัญ: แบบจำลองที่ 95% และ 99% อาจมีพลวัตต่างกัน และไม่มีแบบใดอธิบายส่วนหางทั้งหมด

รูปแบบทั่วไปสำหรับพยากรณ์หนึ่งช่วงเวลาเขียนได้เป็น \[ v_t^\alpha=f(v_{t-1}^\alpha,L_{t-1},X_{t-1};\beta), \] โดย \(X_{t-1}\) มีตัวแปรพยากรณ์อื่นที่อนุญาต และ \(\beta\) เป็นเวกเตอร์พารามิเตอร์ที่ประมาณค่า ควอนไทล์หน่วงเวลาทำหน้าที่เก็บความจำจากอดีต ส่วนความเสียหายหน่วงเวลาหรือตัวแปรพยากรณ์ช่วยให้ข้อมูลใหม่ปรับเกณฑ์ได้ ลักษณะนี้คล้ายสมการเวียนเกิดของความผันผวนตรงที่ใช้สภาวะในอดีต แต่สถานะที่อัปเดตคือควอนไทล์ ไม่ใช่ความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไข

ตัวอย่างเช่น ข้อกำหนดแบบค่าสัมบูรณ์สมมาตร (SAV) คือ \[ v_t^\alpha=\beta_0+\beta_1v_{t-1}^\alpha+\beta_2|L_{t-1}|. \] แบบนี้ตอบสนองต่อขนาดของการเคลื่อนไหวก่อนหน้า แต่ใช้ค่าสัมบูรณ์จึงปฏิบัติต่อกำไรและความเสียหายอย่างสมมาตร พจน์ออโตรีเกรสซีฟช่วยให้ผลพยากรณ์คงอยู่หลังช็อก แล้วค่อยเปลี่ยนเมื่อมีข้อมูลใหม่เข้ามา ความคงทนเป็นคุณสมบัติที่ต้องประมาณและประเมิน เส้นที่ดูราบเรียบเพียงอย่างเดียวไม่ได้แปลว่าควอนไทล์ผ่านการปรับเทียบ

CAViaR ยังมีรูปแบบอื่น เช่น การอัปเดตแบบปรับตัวตามว่าค่าสังเกตก่อนหน้าข้ามเกณฑ์ก่อนหน้าหรือไม่ และรูปแบบ indirect-GARCH ที่แฝงสมการเวียนเกิดคล้ายความแปรปรวน รูปแบบเหล่านี้เป็นข้อกำหนดทางเลือก ไม่ใช่ชื่อเรียกที่ใช้แทนกันได้ รูปฟังก์ชันกำหนดว่าข้อมูลย้อนหลังใดขยับควอนไทล์ได้ และแบบจำลองแสดงการตอบสนองชนิดใดได้บ้าง

หากต้องการให้ค่าสังเกตด้านลบและด้านบวกส่งผลต่อควอนไทล์ความเสียหายถัดไปต่างกัน ให้กำหนด \(L^+=\max(L,0)\) และ \(L^-=\max(-L,0)\) รูปแบบความชันไม่สมมาตรแบบหนึ่งคือ \[ v_t^\alpha=\beta_0+\beta_1v_{t-1}^\alpha+\beta_2L_{t-1}^{+}+\beta_3L_{t-1}^{-}. \] ความเสียหายของพอร์ตที่เป็นบวกจะเข้าสมการผ่าน \(L^+\) ส่วนกำไรเข้าสมการผ่าน \(L^-\) ความชันที่ประมาณได้ทั้งสองค่าไม่จำเป็นต้องเท่ากัน หากเขียนแบบจำลองสำหรับผลตอบแทนและควอนไทล์ล่างของผลตอบแทนแทนความเสียหายที่เป็นบวก ข้อตกลงเรื่องเครื่องหมายจะเปลี่ยนไป งานวิจัยหรือการนำไปใช้จึงควรระบุตัวแปรตามและความหมายของส่วนบวกกับส่วนลบอย่างชัดเจน

ความยืดหยุ่นนี้ไม่ได้พิสูจน์ว่าตลาดมีผล leverage แบบไม่สมมาตร แต่เปิดทางให้ควอนไทล์แบบมีเงื่อนไขที่เลือกตอบสนองต่อสองด้านต่างกัน ภายใต้สมการเวียนเกิดและชุดข้อมูลที่กำหนด สัมประสิทธิ์ต้องประมาณจากข้อมูล ไม่ใช่ค่าคงที่ที่ทราบอยู่แล้ว เครื่องหมายและขนาดขึ้นกับหน่วยตัวแปรและการกำหนดพารามิเตอร์ ควรเปรียบเทียบรูปแบบนี้กับแบบอ้างอิงสมมาตรและประเมินทั้งคู่ด้วยข้อมูลนอกช่วงประมาณค่า

<!-- Illustration placement: after section 3; text-free conceptual view of a conditional loss-quantile ribbon moving over time, responding more after a large loss than after an upside move, with a few conceptual threshold crossings. No axes, labels, values, or market data. -->

สำหรับพารามิเตอร์ผู้สมัคร \(\beta\) ให้คำนวณเส้นทางเวียนเกิดทั้งหมด \(v_t^\alpha(\beta)\) ก่อน แล้วจึงหาค่าต่ำสุดของความสูญเสียควอนไทล์หรือ check loss: \[ \widehat\beta=\arg\min_\beta\sum_{t=1}^{T}\rho_\alpha\!\left(L_t-v_t^\alpha(\beta)\right),\qquad \rho_\alpha(u)=u\left(\alpha-\mathbf 1\{u<0\}\right). \] สำหรับควอนไทล์ความเสียหายด้านบน การพยากรณ์ต่ำไปให้ \(u>0\) และมีน้ำหนัก \(\alpha\); การพยากรณ์สูงไปให้ \(u<0\) และมีน้ำหนัก \(1-\alpha\) เมื่อ \(\alpha=0.99\) ฟังก์ชันนี้ลงโทษการพลาดความเสียหายขนาดใหญ่มากกว่าการกันส่วนเผื่อเกินในขนาดเท่ากัน ไม่ใช่ความสูญเสียกำลังสอง และไม่ได้เลือกสัมประสิทธิ์เพื่อให้พอดีกับค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไข

Koenker และ Bassett พัฒนาแนวคิดการถดถอยควอนไทล์นี้ (บทความปี 1978) แล้วนำมาใช้กับเส้นทางควอนไทล์ที่สร้างแบบเวียนเกิด วัตถุประสงค์ของการถดถอยควอนไทล์เชิงเส้นมีโครงสร้างนูนที่เป็นประโยชน์ แต่รูปแบบเวียนเกิดไม่เชิงเส้นของ CAViaR อาจไวต่อค่าเริ่มต้นของการหาค่าเหมาะสมและจุดต่ำสุดเฉพาะที่ การประมาณที่ใช้งานได้ควรบันทึกฟังก์ชันเป้าหมาย ข้อจำกัดพารามิเตอร์ ขั้นตอนหาค่าเหมาะสม การตรวจสอบการลู่เข้า และการเริ่มต้นหลายค่า ผลลัพธ์กำลังสองน้อยที่สุดมาตรฐานใช้แทนการอนุมานสำหรับการถดถอยควอนไทล์ไม่ได้

ต้องกำหนดหรือประมาณค่าเวียนเกิดแรก \(v_0^\alpha\) ทางเลือกที่โปร่งใสคือควอนไทล์บนเชิงประจักษ์ของความเสียหายจากช่วงก่อนประเมิน ซึ่งสิ้นสุดก่อนช่วงประเมิน แบบจำลองอื่นอาจประมาณค่าเริ่มต้นร่วมกับพารามิเตอร์หรือใช้ช่วง burn-in ที่ระบุไว้ ไม่ว่าจะใช้กฎใด ควรใช้เหมือนกันกับรูปแบบผู้สมัครทุกแบบและเปิดเผยจำนวนค่าสังเกตที่ใช้ตั้งต้นสมการ หากสัมประสิทธิ์หน่วงมีความคงทนสูง ค่าเริ่มต้นอาจส่งผลต่อการพยากรณ์ในเวลาต่อมาอีกหลายช่วง

การปรับแบบจำลองควอนไทล์เวียนเกิดอาจไม่เป็นเชิงเส้นในพารามิเตอร์ แม้สมการที่แสดงจะดูเรียบง่าย เวกเตอร์เริ่มต้นต่างกันอาจลู่เข้าสู่คำตอบเฉพาะที่คนละจุด ข้อความว่า optimizer ลู่เข้าเพียงหมายถึงผ่านเกณฑ์หยุดเชิงตัวเลข ใช้ค่าเริ่มต้นที่สมเหตุสมผลหลายค่าเมื่อเหมาะสม ตรวจเส้นทางผลลัพธ์ และแยกข้อจำกัดเชิงตัวเลข เช่น บังคับให้เกณฑ์ความเสียหายไม่ติดลบ ออกจากข้อเท็จจริงทางเศรษฐกิจ ไม่มีขอบเขตสัมประสิทธิ์ค่าเดียวที่รับประกันเสถียรภาพของ CAViaR ได้ทุกข้อกำหนด เงื่อนไขขึ้นกับรูปแบบ การระบุเอกลักษณ์ และพฤติกรรมของกระบวนการข้อมูล ผลเชิงกำกับของบทความต้นฉบับตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ระบุไว้และไม่รวมกรณีระเบิด

ความไม่แน่นอนก็สำคัญเช่นกัน ค่าสังเกตส่วนหางมีน้อย โดยเฉพาะที่ระดับ 99% และความหนาแน่นแบบมีเงื่อนไขใกล้ควอนไทล์เป้าหมายมีผลต่อความแม่นยำของตัวประมาณ ค่าคลาดเคลื่อนมาตรฐานของพารามิเตอร์ในควอนไทล์เวียนเกิดไม่เชิงเส้นต้องใช้วิธีที่มีเหตุผลรองรับสำหรับปัญหานี้ เช่น ตัวประมาณเชิงกำกับที่เหมาะสมหรือ bootstrap ที่ออกแบบอย่างรอบคอบ อย่าตีความเส้นที่ดูแม่นยำว่าเป็นหลักฐานว่ารู้ความเสี่ยงส่วนหางได้อย่างแม่นยำ

ณ จุดเริ่มต้น \(t-1\) ให้ประมาณพารามิเตอร์และสร้าง \(v_t^\alpha\) โดยใช้เฉพาะผลตอบแทนและตัวแปรร่วมที่มีอยู่ก่อนถึงจุดนั้น จากนั้นจึงนำผลพยากรณ์ไปเทียบกับ \(L_t\) หลังสิ้นสุดช่วงเวลา หากประมาณแบบจำลองใหม่ด้วยหน้าต่างเลื่อนหรือขยาย ทุกหน้าต่างต้องสิ้นสุดตรงจุดเริ่มต้นพยากรณ์ที่ระบุ การใช้ \(L_t\) เพื่อคำนวณ \(v_t^\alpha\) หรือใช้ข้อมูลฉบับแก้ไขที่ยังไม่มีในขณะนั้น เท่ากับรั่วไหลข้อมูลอนาคตเข้าสู่การพยากรณ์

กำหนดเป้าหมายให้ตรงกับพอร์ตและระยะเวลาจริง VaR รายวันของพอร์ตน้ำหนักคงที่ไม่ใช่ VaR ของบัญชีที่เปลี่ยนสถานะระหว่างวันโดยอัตโนมัติ และควอนไทล์หนึ่งวันก็ไม่ใช่การพยากรณ์ความเสี่ยงหลายวัน ระบุวิธีสร้างผลตอบแทน สกุลเงิน ระยะเวลา เวลาปิดตลาด การปรับสมดุลพอร์ต และเวลาที่ตัวแปรพยากรณ์แต่ละตัวพร้อมใช้งาน การแปลงตัวแปร เหตุการณ์ของบริษัท ราคาค้าง และช่วงซื้อขายที่หายไปล้วนเปลี่ยนชุดข้อมูลและพลวัตควอนไทล์

สมการเวียนเกิดที่คุ้นเคยให้ผลพยากรณ์ล่วงหน้าหนึ่งช่วงโดยธรรมชาติ เพราะ \(v_t\) ใช้ \(L_{t-1}\) ที่สังเกตได้ สำหรับการพยากรณ์หลายช่วง ความเสียหายในอนาคตยังไม่ทราบ การวนสมการโดยใส่ความเสียหายจริงในอนาคตเป็นการมองล่วงหน้า VaR หลายช่วงต้องมีกระบวนการชัดเจนสำหรับเส้นทางอนาคตที่ไม่ทราบ เช่น การจำลองหรือแบบจำลองหลายช่วงที่ระบุแยกต่างหาก และต้องประเมินสมมติฐานเหล่านั้นแยกกัน

สมมติว่า VaR รายวันระดับ 99% ของความเสียหายกำหนดด้วยสมการความชันไม่สมมาตรข้างต้น วัดความเสียหายและ \(v\) เป็นจุดเปอร์เซ็นต์ และใช้พารามิเตอร์ตัวอย่างที่ไม่ได้ประมาณจากข้อมูล ได้แก่ \(\beta_0=0.10\), \(\beta_1=0.80\), \(\beta_2=0.35\), \(\beta_3=0.10\) หากผลพยากรณ์ก่อนหน้าคือ \(2.00\%\) และเมื่อวานพอร์ตขาดทุน \(3.00\%\) จะได้ \[ v_t^{0.99}=0.10+0.80(2.00)+0.35(3.00)+0.10(0)=2.75\%. \] ตัวอย่างนี้แสดงว่าความเสียหายก้อนใหญ่ยกเกณฑ์ของวันนี้ หากเมื่อวานพอร์ตได้กำไร \(3.00\%\) แทน จะมี \(L_{t-1}=-3.00\%\) และอีกด้านหนึ่งของสมการให้ \[ v_t^{0.99}=0.10+0.80(2.00)+0.35(0)+0.10(3.00)=2.00\%. \] สัมประสิทธิ์เหล่านี้เลือกมาเพื่อแสดงวิธีเวียนเกิดเท่านั้น ตัวอย่างจากข้อมูลหรือการกำหนดพารามิเตอร์แบบอื่นอาจตอบสนองต่างกัน

หากความเสียหายจริงวันนี้เท่ากับ \(3.20\%\) ก็เกินผลพยากรณ์ \(2.75\%\) และตัวบ่งชี้การเกินเกณฑ์จะเป็นหนึ่ง การเกินหนึ่งครั้งไม่ได้พิสูจน์ว่าแบบจำลองแย่ เช่นเดียวกับวันที่ไม่เกินเกณฑ์วันเดียวก็ไม่ได้ยืนยันว่าแบบจำลองดี หากปรับเทียบแบบมีเงื่อนไขได้ถูกต้อง ค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขของตัวบ่งชี้การเกินเกณฑ์เมื่อกำหนดข้อมูล ณ เวลาพยากรณ์ควรเท่ากับ \(1-\alpha\) ในตัวอย่างยาว ค่าเฉลี่ยควรใกล้ระดับดังกล่าวโดยมีความแปรปรวนจากการสุ่มตัวอย่าง

VaR คือปริมาณความเสี่ยง ซึ่งเป็นควอนไทล์ความเสียหายแบบมีเงื่อนไขที่กำหนดไว้ CAViaR เป็นวิธีหนึ่งในการพยากรณ์ปริมาณนั้น ส่วน Expected Shortfall ตอบคำถามอีกแบบ คือความเสียหายเฉลี่ยในส่วนหางที่เลือก ซึ่งอยู่เลย VaR ตามนิยามที่เกี่ยวข้อง เส้นทางควอนไทล์ CAViaR เพียงอย่างเดียวไม่ได้ระบุค่าเฉลี่ยส่วนหางหรือรูปร่างของความเสียหายที่เลยเกณฑ์ ดูการเปรียบเทียบใน คู่มือ VaR กับ Expected Shortfall

GARCH จำลองความแปรปรวนหรือความผันผวนแบบมีเงื่อนไขด้วยสมการเวียนเกิด จากนั้นต้องสมมติการแจกแจงของนวัตกรรมมาตรฐานเพื่อแปลงความแปรปรวนเป็นควอนไทล์ VaR ARCH และ GARCH เกี่ยวข้องกับ แบบจำลอง ARCH ของ Engle และ ส่วนขยาย GARCH ของ Bollerslev90063-1) CAViaR จำลองควอนไทล์โดยตรงและไม่ต้องใช้ความหนาแน่นแบบมีเงื่อนไขทั้งหมด แต่ยังมีสมมติฐานอยู่ในพลวัตที่เลือก ข้อกำหนด indirect-GARCH CAViaR เป็นรูปแบบเชื่อมระหว่างสองแนวทาง ไม่ใช่หลักฐานว่า CAViaR ทุกแบบเป็น GARCH อ่านเพิ่มได้ใน คู่มือ GARCH กับการเกาะกลุ่มของความผันผวน

ความสูญเสียควอนไทล์ในตัวอย่างต่ำไม่ได้รับรองว่าพยากรณ์ความเสี่ยงนอกตัวอย่างแม่นยำ แยกช่วงประเมินตามลำดับเวลา สร้างแต่ละผลพยากรณ์จากข้อมูลในอดีตเท่านั้น และรายงานทั้งอัตราการเกินเกณฑ์ ตลอดจนการเกาะกลุ่มหรือความสามารถในการคาดการณ์จากข้อมูลที่ผ่านมา การทดสอบความถี่แบบไม่มีเงื่อนไขของ Kupiec (1995) กับการทดสอบ conditional coverage ของ Christoffersen (1998) ตอบคำถามต่างกัน ส่วน dynamic-quantile test ของ Engle และ Manganelli ตรวจข้อจำกัดบางอย่างของตัวบ่งชี้การเกินเกณฑ์ที่ปรับศูนย์และตัวแปรเครื่องมือที่เลือก ไม่มีการทดสอบใดตรวจพบความผิดพลาดของแบบจำลองได้ทุกแบบ ขั้นตอนของการทดสอบลำดับการเกินเกณฑ์อธิบายใน คู่มือ backtest VaR หากต้องการเทียบผลพยากรณ์ควอนไทล์สองแบบ ให้ให้คะแนนด้วย check loss เดียวกันในวันที่ตรงกัน แล้วเปรียบเทียบผลต่างของความสูญเสียที่มีการพึ่งพากันด้วย การทดสอบ Diebold–Mariano การทดสอบนี้วัดความสูญเสียพยากรณ์เชิงเปรียบเทียบ ไม่ได้ทดสอบการปรับเทียบ VaR หรือกำไรจากการซื้อขาย

ผลลัพธ์อาจเปลี่ยนตามความน่าจะเป็นส่วนหาง สมการเวียนเกิด ค่าเริ่มต้น หน้าต่างประมาณค่า พอร์ต และวันที่ประเมิน แบบจำลองที่เหมาะกับควอนไทล์หนึ่งอาจไม่เหมาะกับอีกควอนไทล์ และควอนไทล์ที่ประมาณแยกกันอาจตัดสลับลำดับกัน การเปลี่ยนโครงสร้าง การเกาะกลุ่มของเหตุการณ์รุนแรง ข้อมูลส่วนหางที่มีน้อย การเปลี่ยนสถานะถือครอง ช่องว่างตลาด สภาพคล่อง และต้นทุนการส่งคำสั่ง ไม่ได้ถูกแก้ด้วยสมการ VaR แบบเวียนเกิด VaR ยังไม่บอกความรุนแรงของความเสียหายหลังเกิดการเกินเกณฑ์ ให้มองผลเป็นเกณฑ์ความเสี่ยงจากแบบจำลองที่ต้องติดตาม ไม่ใช่เพดานความเสียหาย การพยากรณ์กำไร หรือกฎซื้อขายแบบเดี่ยว