อธิบาย Brownian Bridge สำหรับการกำหนดราคา Barrier Option
เรียนรู้ว่า Brownian bridge ประเมินการข้าม barrier ที่พลาดไประหว่างวันที่ Monte Carlo ได้อย่างไร และเหตุใดการดูเฉพาะจุดปลายจึงทำให้ราคาของออปชันที่ตรวจสอบต่อเนื่องมีอคติ
คำตอบโดยตรง
Brownian bridge กำหนดเงื่อนไขให้เส้นทาง diffusion ต่อเนื่องอยู่ภายใต้จุดปลายที่จำลองไว้ ใน Monte Carlo ของ barrier option จะประเมินโอกาสที่เส้นทางข้าม barrier ระหว่างสองวันหรือไม่ เพื่อลดอคติจากการถือว่าตัวอย่างแบบไม่ต่อเนื่องเป็นการตรวจสอบต่อเนื่อง
จุดปลายไม่ได้เผยให้เห็นการข้ามทุกครั้ง
สมมติว่าราคาที่จำลองอยู่ต่ำกว่า up barrier ทั้งตอนเริ่มและตอนจบของช่วงเวลาหนึ่งวัน เส้นทางต่อเนื่องยังสามารถข้าม barrier แล้วกลับมาต่ำกว่าได้
ดังนั้นการตรวจสอบเฉพาะจุดปลายรายวันหรือรายชั่วโมงมักพลาดเหตุการณ์ knock-out หรือ knock-in เมื่อสัญญาถูกตรวจสอบอย่างต่อเนื่อง
การเพิ่มจำนวนช่วงเวลาช่วยลดข้อผิดพลาดนี้ได้ แต่อาจมีต้นทุนสูงและยังเหลืออคติจากการตรวจสอบอยู่
Bridge เติมความไม่แน่นอนของเส้นทางแบบมีเงื่อนไข
สำหรับ Brownian motion การกำหนดเงื่อนไขด้วยค่าที่ปลายทั้งสองทำให้ได้การแจกแจงระหว่างกลางที่มีค่าเฉลี่ยเดินตามเส้นตรงระหว่างจุดปลาย
ความแปรปรวนเป็นศูนย์ที่จุดปลายทั้งสองและมากที่สุดภายในช่วง ความผันผวนแบบมีเงื่อนไขนี้คือ Brownian bridge
หลังแปลง diffusion ให้อยู่ในรูป log-price ที่เหมาะสม แนวคิดเดียวกันจะให้ความน่าจะเป็นของการข้ามในแต่ละช่วงภายใต้แบบจำลองที่กำหนด
ช่วงเวลาใกล้ barrier ต้องใช้มากกว่าราคา quote เดียว
ลองนึกถึงระดับ up-and-out ที่ 110 โดยมีราคาจุดปลายที่จำลองได้ 104 และ 106 ตลอดช่วงเวลาสั้น ๆ
จุดปลายทั้งสองไม่กระตุ้น barrier แต่การปรับด้วย bridge ยังคงกำหนดความน่าจะเป็นของการข้ามเป็นค่าบวก เพราะเส้นทางที่ไม่ได้สังเกตอาจขึ้นเหนือ 110 แล้วกลับลงมา
ความน่าจะเป็นขึ้นอยู่กับระยะห่างจาก barrier ความยาวช่วงเวลา และความแปรปรวนของแบบจำลอง ไม่ควรแทนที่ด้วยเปอร์เซ็นต์คงที่ [!TRYMARK] แยกการตรวจสอบออกจากเป้าหมายราคา ก่อนวันหมดอายุหรือวันเหตุการณ์ ให้บันทึก barrier ระดับหุ้น สมมติฐาน IV มูลค่าเป้าหมาย และกฎการตรวจสอบใน TryMark เป้าหมายที่อิงการตรวจสอบสิ้นวันอาจแตกต่างจากสัญญาที่ตรวจสอบอย่างต่อเนื่องอย่างมีนัยสำคัญ
Monte Carlo ใช้การถ่วงน้ำหนักหรือการสุ่มแบบมีเงื่อนไขได้
วิธีหนึ่งคูณผลตอบแทนของแต่ละเส้นทางด้วยความน่าจะเป็นการอยู่รอดของแต่ละช่วง อีกวิธีสุ่มว่ามีการข้ามเกิดขึ้นหรือไม่โดยใช้ความน่าจะเป็นจาก bridge
การถ่วงน้ำหนักมักลดความแปรปรวน เพราะไม่ต้องสุ่มตัวแปรไบนารีเพิ่ม ขณะที่การสุ่มแบบมีเงื่อนไขอาจมีประโยชน์เมื่อเวลาที่ข้ามส่งผลต่อกระแสเงินสด
ทั้งสองวิธีต้องใช้รูปแบบการสังเกตจริงของสัญญา ผลิตภัณฑ์ที่จดทะเบียนบางชนิดตรวจสอบเฉพาะเวลาที่กำหนด ไม่ได้ตรวจสอบต่อเนื่อง
Bridge คือการแก้แบบจำลอง ไม่ใช่ความแน่นอนของตลาด
สูตรมาตรฐานสมมติ diffusion ต่อเนื่องที่มีความผันผวน อัตราดอกเบี้ย และเงินปันผลที่เลือกไว้ตลอดช่วง
การกระโดดของราคาอาจข้าม barrier ในลักษณะที่ bridge แบบต่อเนื่องประเมินต่ำเกินไป ความผันผวนสุ่ม local volatility เงินปันผลแบบไม่ต่อเนื่อง และขีดจำกัดราคา ก็เปลี่ยนแบบจำลองได้
ตรวจสอบกับการคำนวณบนกริดที่ละเอียดขึ้น ทดสอบระยะ barrier และความผันผวน และแยกเงื่อนไขตามกฎหมายของสัญญาออกจากค่าประมาณที่สะดวกสำหรับการจำลอง
คำถามที่พบบ่อย
เหตุใด Brownian bridge จึงมีประโยชน์กับ barrier options?
เพราะประเมินได้ว่า barrier ที่ตรวจสอบต่อเนื่องถูกข้ามระหว่างวันที่จำลองหรือไม่ ซึ่งการจำลองที่ดูเฉพาะจุดปลายอาจพลาดเหตุการณ์นี้
Brownian bridge ทำให้การจำลอง barrier แม่นยำสมบูรณ์หรือไม่?
จะแม่นยำสมบูรณ์เฉพาะสำหรับ diffusion ต่อเนื่องและรูปแบบการตรวจสอบที่กำหนดเท่านั้น การกระโดด ความผันผวนที่เปลี่ยนแปลง และรายละเอียดของสัญญาอาจต้องใช้แบบจำลองอื่น
ควรเพิ่มช่วงเวลา Monte Carlo ให้มากขึ้นอย่างเดียวหรือไม่?
ช่วงที่ละเอียดขึ้นช่วยได้ แต่ bridge สามารถกำจัดอคติระหว่างช่วงได้มากอย่างมีประสิทธิภาพกว่า อย่างไรก็ดี การเปรียบเทียบทั้งสองวิธียังเป็นการตรวจสอบเชิงตัวเลขที่ดี