Устойчивые распределения и бесконечная дисперсия в финансах

Распределение называется устойчивым, если для независимых копий X_1 и X_2 и положительных a,b величина aX_1+bX_2 имеет тот же закон, что и cX+d для некоторого c>0 и d

Такая замкнутость делает семейство естественным для агрегации: суммы остаются в том же классе форм распределения

Нормальное распределение — устойчивый член при α=2; слово «устойчивое» само по себе не означает ни тяжёлых хвостов, ни бесконечной дисперсии

Показатель устойчивости α лежит в (0,2], асимметрия β — в [−1,1], а масштаб и положение задают размер и центр при выбранной параметризации

При α<2 хвосты при невырожденных условиях имеют регулярную вариацию со степенным показателем α, поэтому экстремумы гораздо вероятнее, чем при нормальном законе

Устойчивые плотности обычно не имеют элементарных замкнутых формул, а параметризации особенно различаются около α=1, поэтому соглашения программного обеспечения важны

У негауссовского устойчивого закона с α<2 генеральная дисперсия бесконечна, хотя выборочная дисперсия любой конечной выборки конечна

Абсолютный первый момент конечен только при α>1; при α≤1 обычное генеральное среднее, как правило, также не существует

Растущая выборочная дисперсия или нестабильное среднее согласуются с тяжёлыми хвостами, но сами по себе не доказывают бесконечность момента

Если нормированные суммы независимых одинаково распределённых величин сходятся к невырожденному пределу, возможными пределами являются устойчивые законы

Входные величины с конечной дисперсией приводят к гауссовскому случаю α=2, а подходящие величины с регулярно меняющимися хвостами могут привести к устойчивому пределу при α<2

Масштаб агрегации равен n^(1/α), а не √n, а центрирование зависит от α и выбранной параметризации

Мандельброт предложил устойчивые паретовские законы для спекулятивных изменений цен, заметив гораздо больше крупных движений, чем допускает гауссовская модель

Фама исследовал анализ портфеля при устойчивых паретовских доходностях и то, как работает диверсификация без конечной дисперсии

Более поздние свидетельства о кластеризации волатильности, усечённых хвостах и меняющихся режимах показывают, что точная независимая устойчивость — не единственное объяснение тяжёлых доходностей

Точная модель α<2 означает отсутствие конечной генеральной дисперсии на любом горизонте, а не просто большую или трудную для оценки дисперсию

Темперированные устойчивые, усечённые устойчивые, смешанные, скачковые модели, GARCH и модели стохастической волатильности могут имитировать тяжёлые конечные выборки, сохраняя конечные моменты

Конечные наборы данных редко отличают настоящий бесконечный хвост от очень большого конечного ограничения, поэтому такое утверждение не должно опираться на один прямой отрезок log-log-графика

Оценивайте α с неопределённостью несколькими методами и изучайте подгонку характеристической функции, квантили, превышения и стабильность параметров

Проверьте, масштабируются ли суммы на разных горизонтах предсказанным образом и остаются ли после подгонки зависимость остатков или кластеризация волатильности

Сравните прогнозное покрытие хвостов и решения с альтернативами, имеющими конечную дисперсию, и укажите, какие моменты, согласно модели, не существуют