Реализованная полудисперсия: отдельное измерение волатильности роста и падения

Пусть \(r_i\) — внутридневные логарифмические доходности, наблюдаемые в одном фиксированном интервале. Реализованная дисперсия равна сумме квадратов доходностей: \(RV=\sum_i r_i^2\). Возведение в квадрат делает и прибыль, и убыток положительными величинами, а крупные движения получает больший вес. Показатель измеряет накопленные за интервал колебания, но не сообщает, были ли они направлены вверх или вниз.

Реализованная полудисперсия сохраняет знак доходности до возведения в квадрат. Положительная компонента суммирует квадраты доходностей выше нуля, отрицательная — ниже нуля. При одинаковых наблюдениях и соглашениях их сумма равна реализованной дисперсии. Доходность, равная нулю, не вносит вклад ни в одну часть. Это арифметическое тождество, а не доказательство того, что каждая сторона является отдельным причинным источником риска.

Такое разделение полезно, если исследовательский вопрос касается вариации по направлению: например, несёт ли прошлое изменение отрицательных доходностей иную информацию о будущей волатильности, чем изменение положительных доходностей. Barndorff-Nielsen, Kinnebrock и Shephard предложили реализованную полудисперсию как высокочастотную меру вариации вниз. В их рабочей статье рассматривается её связь с квадратичной вариацией и отрицательными скачками.

Для доходностей \(r_1,\ldots,r_n\) определим:

\[ RS^+ = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i>0), \qquad RS^- = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i<0), \]

где \(\mathbf{1}(\cdot)\) равно единице при выполнении условия и нулю в противном случае. Тогда

\[ RV = \sum_{i=1}^{n}r_i^2 = RS^+ + RS^-. \]

В разных статьях могут использоваться другие обозначения и надстрочные индексы. Поэтому в отчёте следует пояснить, какой член соответствует положительным доходностям, а какой отрицательным. В приведённой формуле доходности не центрируются относительно нуля: из них не вычитают среднее выборки, целевую доходность или безрисковую ставку. Полудисперсия, рассчитанная относительно цели или среднего, — другая статистика.

Единицы измерения — квадрат единиц доходности. Если доходности заданы в базисных пунктах, компоненты измеряются в \(\text{bp}^2\); если в десятичных логарифмических доходностях — в квадрате десятичной доходности. Переход от процентов к базисным пунктам умножает числовое значение квадратичной меры на 10 000, поэтому единицу нужно указывать вместе с числом.

Пусть в гипотетической сессии были получены шесть доходностей в базисных пунктах:

\[ (2,-1,3,-4,0,-2)\;\text{bp}. \]

Положительные доходности дают вклад \(2^2+3^2=13\,\text{bp}^2\). Отрицательные дают \((-1)^2+(-4)^2+(-2)^2=21\,\text{bp}^2\). Нулевая доходность ничего не добавляет. Значит, реализованная дисперсия равна

\[ RV=13+21=34\,\text{bp}^2. \]

В этом небольшом примере доля отрицательной стороны составляет \(21/34\), или примерно 61,8%, а положительной — около 38,2%. Это доли вымышленной суммы, а не вероятности будущего убытка и не оценки устойчивой долгосрочной асимметрии. Шести доходностей слишком мало для статистического вывода. Расчёт лишь проверяет определения.

Руководство по реализованной волатильности рассматривает неразделённую сумму квадратов доходностей. Руководство по bipower variation отвечает на другой вопрос: как оценить непрерывную вариацию при возможных редких скачках. Направленную полудисперсию и устойчивую к скачкам вариацию можно изучать вместе, но одна не заменяет другую.

Если скрытая логарифмическая цена следует непрерывному полумартингалу и при выполнении соответствующих условий регулярности выборка становится всё более частой, положительная и отрицательная полудисперсии доходностей сходятся каждая к половине непрерывной квадратичной вариации. В этом случае суммы для конечной выборки могут отличаться, даже если базовая непрерывная вариация не имеет устойчивого направленного разделения: случайность выборки имеет значение.

При скачках квадрат размера каждого скачка попадает в положительную или отрицательную компоненту в зависимости от знака. Это сохраняет информацию, которую общая реализованная дисперсия отбрасывает, но не означает, что каждая отрицательная доходность является скачком или каждая положительная безвредна. И большое непрерывное движение, и скачок могут дать большое значение доходности в квадрате. Знак классифицирует наблюдаемый прирост, а не его экономическую причину.

Концептуальный рисунок ниже визуально разделяет положительные и отрицательные приращения на две группы. Это не график данных и не результат теста; он не утверждает, что в базовом процессе есть постоянный направленный уклон.

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: positive and negative return increments feed separate collections of squared-magnitude tiles, while their combined area echoes total realized variation. No measured data or market direction is implied. -->

Реализованные полудисперсии можно использовать как отдельные предикторы в модели будущей волатильности. В исследовании S&P 500 и отдельных акций Patton и Sheppard обнаружили, что в их выборках и спецификациях вариация прошлых отрицательных доходностей была теснее связана с будущей волатильностью, чем вариация положительных доходностей. Это эмпирический результат конкретного дизайна, а не универсальный закон рынка и не гарантия качества прогноза новой стратегии.

Чтобы утверждать наличие прогнозной способности, задайте цель и горизонт, выберите подходящий эталон и оцените результат вне выборки. Разница между \(RS^-\) и \(RS^+\) за один день носит описательный характер и не доказывает прогнозную силу. В регрессии может понадобиться учитывать устойчивость волатильности, перекрывающиеся горизонты, неопределённость параметров и отбор данных. Ошибки прогнозов следует оценивать функцией потерь, соответствующей решению.

В многомерном расширении Bollerslev, Li, Patton и Quaedvlieg разрабатывают реализованные полу-ковариации, которые разлагают реализованную ковариацию по знакам пар высокочастотных доходностей. В их статье в Econometrica показано, почему компоненты с одинаковыми и смешанными знаками могут нести разную информацию. Одномерное разделение на положительную и отрицательную части проще и не должно представляться полным разложением ковариации или портфельного риска.

Термин «полудисперсия вниз» используют в нескольких значениях. Рассматриваемая здесь реализованная мера суммирует квадраты высокочастотных доходностей ниже нуля. Мера downside, привязанная к цели, возводит в квадрат доходности ниже выбранного порога — часто целевой или минимально приемлемой доходности. В выборочном расчёте наблюдения также могут центрировать относительно среднего. Эти определения отвечают на разные вопросы и дают разные значения для одной серии доходностей.

Ни одна из реализованных полудисперсий не является Value-at-Risk или Expected Shortfall. VaR описывает квантиль заданного распределения убытков на определённом горизонте; Expected Shortfall суммирует убытки за пределами квантиля согласно указанной конвенции. Сумма квадратов отрицательных внутридневных доходностей не имеет ни одной из этих интерпретаций. Она также не является полной мерой просадки, которая зависит от порядка и траектории доходностей.

Если на графике или в модели \(RS^-\) называют «риском снижения», определите термин рядом. Укажите, отсчитываются ли доходности от нуля или целевого уровня, частоту выборки, а также является ли величина статистикой интервала, входом прогноза или мерой портфеля. Руководство по волатильности GARCH описывает динамику условной дисперсии, а реализованная полудисперсия даёт направленную высокочастотную меру, которую можно рассматривать как вход модели.

Разделение по знаку зависит от наблюдаемой последовательности доходностей. Более частая выборка может добавить bid–ask bounce, дискретность цен, устаревшие котировки и эффекты временных меток. Знак небольшого зарегистрированного изменения цены может поменяться при смене прокси цены или сетки выборки. Поэтому микроструктурный шум может изменить и квадрат амплитуды, и компоненту, к которой относится доходность. Равенство \(RV=RS^++RS^-\) сохраняется для выбранного ряда, но не подтверждает корректность дизайна выборки.

Для надёжного сравнения укажите поле цены, интервал выборки, границы сессии, обработку нулевых доходностей, правила выбросов и синхронность доходностей активов. Проверьте чувствительность к обоснованным вариантам выборки. Если главное — выявить скачки или устойчивость к шуму, используйте оцениватель или тест, созданный для этой задачи, а не трактуйте разделение по знаку как коррекцию. Руководство по двухмасштабной реализованной волатильности описывает один из альтернативных способов коррекции шума.

Статистический вывод также требует распределения выборки или подходящего плана ресэмплинга. Положительная и отрицательная компоненты построены по одной траектории и могут быть зависимы. Перекрывающиеся окна добавляют зависимость. Доверительный интервал или сравнение прогнозов должны это учитывать: сравнение двух точечных оценок само по себе не проверяет различие их прогнозных ролей.

В отчёте укажите ряд доходностей актива или портфеля, окно наблюдений, определение доходности, сетку выборки и единицы. Приведите формулы для \(RS^+\) и \(RS^-\), подтвердите, что их сумма восстанавливает реализованную дисперсию, и поясните обработку нулевых и пропущенных наблюдений. Если мера входит в модель прогноза, сообщите горизонт, эталон, период оценки и функцию потерь.

Не переводите реализованную полудисперсию напрямую в годовую волатильность без указания предпосылок агрегирования. Дневные полудисперсии можно складывать в описательную годовую сумму по выбранной конвенции, но её корень не становится автоматически downside стандартным отклонением с известным распределением. Годовое приведение не исправляет смещение ценовых данных, редкую выборку или эффекты отбора.

Главная задача — дисциплинированное измерение: сохранить направление каждой наблюдаемой доходности и квадратичное взвешивание реализованной вариации. Результат может выявить закономерность, которую стоит проверить. Сам по себе он не устанавливает причину, не измеряет вероятность хвоста и не превращает историческую асимметрию в торговый сигнал.