Стоимость под риском и ожидаемый дефицит: объяснение
Сравните определения VaR и ожидаемого дефицита, расчеты, свойства диверсификации, ошибки оценки и бэктесты, необходимые перед применением обеих мер хвостового риска
Короткий ответ
Стоимость под риском — это квантиль убытка: при уровне доверия α она отмечает порог, превышаемый с вероятностью примерно 1−α. Ожидаемый дефицит усредняет убытки в худшем хвосте. ES описывает тяжесть за VaR, но требует больше хвостовых данных, и ни одна из мер не предсказывает следующий реализованный убыток
VaR определяет границу
Для убытка L с функцией распределения F_L зададим VaR_α(L)=inf{l:F_L(l)≥α}
Однодневный VaR 99% в размере 10 означает, что модель относит около 1% однодневных убытков выше 10 при своих соглашениях
Это не означает, что максимальный убыток равен 10, что убытки остаются ниже 10 в 99 из каждых 100 последовательных дней или что превышения малы
Ожидаемый дефицит усредняет выбранный хвост
Надежное определение таково: ES_α(L)=(1−α)^{-1}∫_α^1 VaR_u(L)du для интегрируемого убытка
Для непрерывного распределения это часто равно E[L|L≥VaR_α] с учетом выбранного соглашения о хвосте
При атомах в квантиле простое условное среднее может выбрать слишком большую массу, тогда как интегральное определение корректно обрабатывает дробную массу квантиля
Меры видят разные портфели
Два портфеля могут иметь одинаковый VaR, хотя один из них допускает значительно большие убытки за порогом
VaR не является субаддитивной для каждого распределения и иногда может наказывать диверсификацию или поощрять концентрированные эффекты около порога
ES когерентна при стандартных определениях и интегрируемости, но когерентность не делает ошибочную модель или устаревший набор данных надежными
Оценка меняет широту на детализацию хвоста
Исторический VaR — это порядковая статистика; исторический ES усредняет только наблюдения за выбранным рангом
При высоком уровне доверия ES поэтому использует очень мало эффективных наблюдений и может иметь гораздо большую выборочную неопределенность
Параметрические, фильтрованные, экстремальные и Монте—Карло оценки добавляют предпосылки модели, которые должны соответствовать горизонту, зависимости, ликвидности и режиму
Бэктесты задают разные вопросы
Тесты VaR могут подсчитывать превышения и оценивать, группируется ли их время сильнее, чем допускает модель
ES нельзя полезно оценить одной частотой превышений; его можно проверять совместно с VaR подходящими scoring-метриками или диагностикой хвостовых убытков
Положительный бэктест говорит лишь о том, что прошлые ошибки прогноза прошли данный тест на данном окне, а не о покрытии следующего режима или неучтенной позиции
Оптимизация дает полезную формулу ES
Рокафеллар и Урьясев используют min_t{t+(1−α)^{-1}E[(L−t)_+]}; минимум равен ES при указанной конвенции
Оптимизируемое t при стандартных условиях является квантилем VaR, что превращает многие сценарные задачи ES в выпуклые программы
Результат все равно зависит от качества сценариев, нелинейностей позиции, торговых ограничений и выпуклости отображения убытка
Управление риском должно закрепить соглашения
Укажите знак убытка, горизонт, уровень доверия, время оценки, окно данных, взвешивание, валюту и обработку пропущенных или устаревших цен
Сообщайте VaR и ES с интервалами неопределенности, историей превышений, вкладом хвостовых факторов, стресс-сценариями и лимитами за пределами статистической модели
Пересчитывайте их при других окнах и предположениях о зависимости и исследуйте изменения, а не относитесь к одному числу как к сертификату риска
Частые вопросы
В чем разница между VaR и ожидаемым дефицитом?
VaR отмечает квантиль убытка, а ожидаемый дефицит усредняет убытки от этого квантиля до худшего конца распределения
Означает ли VaR 99%, что убытки не могут превысить VaR?
Нет. При модели превышения ожидаемы, а VaR ничего не говорит о том, насколько тяжелыми они могут стать
Всегда ли ожидаемый дефицит лучше VaR?
Он содержит информацию о тяжести хвоста и имеет более сильные свойства диверсификации, но его сложнее оценивать, и он остается зависимым от модели
Можно ли провести бэктест ожидаемого дефицита?
Да, но не только по числу превышений; полезные подходы оценивают его совместно с VaR или сравнивают реализованные хвостовые убытки с прогнозами