Когерентные меры риска и двойственное представление: объяснение

Пусть X обозначает будущий чистый капитал или прибыль, так что большая X лучше, а ρ(X) — капитал, требуемый сегодня

Если вместо этого обозначать убытки, несколько знаков изменятся. Число риска неполно без указания соглашения о позиции, горизонта и единицы расчетов

Множество приемлемости содержит позиции с ρ(X) ≤ 0 и дает эквивалентный геометрический взгляд на достаточность капитала

Если X ≤ Y в каждом состоянии, монотонность требует ρ(X) ≥ ρ(Y): доминируемая позиция не может считаться более безопасной

Инвариантность относительно денежного переноса дает ρ(X + m) = ρ(X) - m для гарантированных денежных средств m в той же валюте и на том же горизонте

Это свойство делает ρ требованием к капиталу, а не безразмерной оценкой, но соглашения по фондированию и валюте по-прежнему важны

Субаддитивность требует ρ(X + Y) ≤ ρ(X) + ρ(Y)

Объединение столов не должно создавать больше измеренного риска, чем оценка каждого отдельно, если диверсификация учитывается согласованно

Неравенство может нарушиться в реализации, если сценарии, горизонты ликвидности или нелинейные правила закрытия различаются для позиций

Для λ ≥ 0 положительная однородность требует ρ(λX) = λρ(X)

Вместе с субаддитивностью она дает выпуклость, но предполагает, что удвоение позиции удваивает риск, не ухудшая ликвидность или рыночное воздействие

Выпуклые меры риска ослабляют однородность и могут представлять зависящие от размера издержки через штраф в двойственной формуле

При подходящих конечных или функционально-аналитических условиях ρ(X) = sup_{Q∈𝒬} E_Q[-X]

Множество 𝒬 содержит тестовые или стрессовые меры; наиболее неблагоприятный ожидаемый убыток позиции определяет требуемый капитал

Представление похоже на двойственность суперхеджирования, но множество допустимых сценариев является частью политики риска и требует обоснования

Value at Risk — это квантиль, и он не является субаддитивным для всех распределений, поэтому в общем случае не когерентен

Ожидаемый дефицит усредняет убытки в выбранном хвосте и является когерентным при стандартных определениях и условиях интегрируемости

Уровень хвоста, обработка атомов, интерполяция, знак убытка, горизонт и модель данных могут существенно менять любую оценку

Охват сценариев, оценки вероятностей, зависимость, устаревшие позиции, нелинейная переоценка и предположения о ликвидности определяют результат

Проверяйте исключения и хвостовые убытки на истории, подвергайте стрессу пропущенные факторы и сравнивайте маржинальное и компонентное распределение с полной переоценкой

Сообщайте множество приемлемости или двойственное семейство сценариев, окно данных, масштабирование, уровень доверия и пределы, за которыми капитал перестает масштабироваться линейно