Разложение Корниша—Фишера для квантилей риска
Узнайте, как Корниш—Фишер корректирует нормальные квантили кумулянтами, чем он отличается от Эджворта и почему оценки хвостового риска требуют проверок монотонности и устойчивости
Короткий ответ
Разложение Корниша—Фишера приближает квантили распределения, корректируя эталонный нормальный квантиль стандартизированными кумулянтами. Оно может переводить асимметрию и эксцесс в поправки сценария или VaR, но усеченная формула способна дать пересекающиеся квантили и ненадежные оценки дальнего хвоста
Результат — квантиль, а не плотность
Для вероятности p пусть z_p=Φ^{-1}(p) — квантиль стандартного нормального распределения
Корниш—Фишер корректирует z_p, а затем масштабирует результат целевыми средним μ и стандартным отклонением σ
Он отвечает на вопрос, какой порог соответствует p, а не на вопрос, какова плотность или ожидаемый убыток за этим порогом
Асимметрия и эксцесс дают первые поправки
При стандартизированной асимметрии γ₁ и избыточном эксцессе γ₂ распространенное усечение начинается с z_p+γ₁(z_p²−1)/6
Затем оно добавляет γ₂(z_p³−3z_p)/24−γ₁²(2z_p³−5z_p)/36, прежде чем умножить на σ и прибавить μ
Член γ₁² показывает, что асимптотический порядок не совпадает с простым добавлением одной поправки для каждого следующего момента
Разложение получается асимптотическим обращением
Корниш—Фишер можно вывести обращением разложения Эджворта для функции распределения
Эджворт приближает плотность или функцию распределения в точке x, а Корниш—Фишер приближает x, достигающий выбранной накопленной вероятности
Для контролируемого порядка усечения обоим методам нужны объявленная асимптотическая последовательность и масштабирование кумулянтов
Для риска нужна правильная мера
Оценка физических доходностей может корректировать исторические или прогнозные сценарии VaR, тогда как кумулянты, выведенные из опционов, описывают риск-нейтральное распределение
Эти входы отвечают на разные вопросы, и их нельзя смешивать только потому, что в обоих случаях используются слова «асимметрия» и «эксцесс»
Корниш—Фишер задает порог, но не ожидаемый дефицит, зависящий от полного распределения убытков за этим порогом
Квантили могут пересекаться или идти назад
Полиномиальная поправка быстро растет при больших |z_p| и может заставить оцененную квантиль уменьшаться при росте p
Большая асимметрия или эксцесс также могут вывести приближение за границы носителя переменной или изменить порядок хвоста
Монотонная перестановка может численно исправить порядок, но исправленная кривая уже не будет исходным усеченным разложением
Оцененные кумулянты добавляют слой ошибки
Выборочные асимметрия и эксцесс шумны и чувствительны к выбросам, выбору окна, смене режима и зависимости
Использование оцененных входов как известных игнорирует неопределенность параметров, которая может доминировать над формальной асимптотической поправкой
Дальние хвостовые вероятности усиливают и ошибку коэффициентов, и ошибку усечения именно там, где решения по риску наиболее важны
Проверяйте квантили как кривую
Проверьте q(p) на плотной сетке вероятностей: монотонность, конечность значений, ограничения носителя и разумное поведение на концах
Сравните с точными распределениями, симуляцией, бутстреп-интервалами и вневыборочными частотами превышений на нескольких уровнях вероятности
Записывайте соглашение о кумулянтах, горизонт выборки, обработку зависимости, порядок усечения, способ исправления и отдельный расчет ожидаемого дефицита
Частые вопросы
Что оценивает разложение Корниша—Фишера?
Оно оценивает выбранный квантиль по нормальному квантилю и поправкам с учетом асимметрии, эксцесса и кумулянтов более высокого порядка
Чем Корниш—Фишер отличается от Эджворта?
Эджворт приближает плотность или функцию распределения в заданном значении, а Корниш—Фишер приближает значение, соответствующее выбранной вероятности
Можно ли с помощью Корниша—Фишера вычислить ожидаемый дефицит?
Не сам по себе. Ожидаемый дефицит требует среднего убытка за квантилем, который не определяется одним скорректированным порогом
Почему квантили Корниша—Фишера могут пересекаться?
Усеченные полиномиальные поправки могут расти и колебаться в хвостах, делая приближенную функцию квантилей немонотонной