Экстремальная теория и хвостовой индекс

Центральное предельное рассуждение описывает нормированные суммы, а экстремальная теория изучает максимумы, минимумы или превышения высокого порога

Модель, хорошо описывающая обычные доходности, все еще может приписывать обвалам совершенно неверные вероятности, потому что центр содержит мало информации о дальнем хвосте

Экстремальная теория сужает набор возможных предельных форм хвоста, но не делает конечную выборку достаточно экстремальной и не устраняет нестационарность рынка

Для блочных максимумов M_n любой невырожденный нормированный предел при классических условиях области притяжения должен принадлежать обобщенному семейству экстремальных значений

Его распределение можно записать как G(z)=exp{−[1+ξ(z−μ)/σ]^(−1/ξ)}, где скобка положительна, с непрерывным пределом Гумбеля при ξ=0

Положение μ задает уровень, масштаб σ — разброс, а форма ξ определяет предельный класс хвоста

При ξ>0 класс Фреше имеет тяжелый степенной хвост; ξ=0 дает класс Гумбеля; ξ<0 дает конечную верхнюю границу в классе Вейбулла

В обозначениях тяжелого хвоста показатель степени часто равен α=1/ξ, поэтому «хвостовой индекс» может означать ξ или α в зависимости от области

Это соглашение нужно указывать: больший ξ означает более тяжелый хвост, а больший α — более легкий степенной хвост

Оценки Хилла, Пикандса, моменты с вероятностными весами и оценки правдоподобия используют разные части или сводки крупнейших наблюдений

Слишком малое число экстремумов дает большую дисперсию, а слишком большое включает центральные наблюдения и может сместить хвостовое приближение

Оценка хвостового индекса без выбранных порядковых статистик, правила порога, интервала неопределенности и траектории устойчивости неполна

Финансовые доходности не являются независимыми и одинаково распределенными: режимы волатильности могут помещать несколько крупных убытков близко друг к другу

Экстремальный индекс суммирует кластеризацию при подходящей стационарной зависимости; значения ниже единицы указывают на меньшее число эффективно независимых экстремумов

Фильтрация волатильности или декластеризация могут помочь, но обе добавляют предпосылки и при механическом применении могут стереть настоящую устойчивость кризиса

После оценки хвостовой модели и частоты превышений высокие квантили могут расширить VaR за пределы крупнейшего регулярно наблюдаемого убытка

Ожидаемый дефицит требует конечного среднего хвоста; для тяжелого хвоста обобщенного Парето это требует ξ<1, а более высокие моменты — еще более строгих ограничений

Неопределенность экстраполяции быстро растет с удалением от порога, поэтому дополнительные десятичные знаки не создают дополнительной информации

Изучайте графики среднего избытка, стабильности параметров, квантилей, вероятностей и уровней возврата при разных допустимых порогах или размерах блоков

Повторяйте оценки для разных окон, фильтров, правил декластеризации, оценок и исключений кризисов, сохраняя журнал каждого решения

Используйте экстремальную теорию вместе со сценарным анализом и структурными стресс-тестами, потому что беспрецедентные механизмы не обязаны быть масштабированной версией исторических экстремумов