Взрыв моментов и формула моментов Ли: объяснение

Для неотрицательной конечной цены S_T степенной момент E[S_T^r] сильно взвешивает большие цены при положительном r и значения около нуля при отрицательном r

Конечная дисперсия касается только одного порядка; поведение крыла опциона зависит от границы всех конечных положительных или обратных моментов

Это риск-нейтральные моменты при фиксированном сроке, а не выборочные оценки физических доходностей и не обещания будущих частот

Для порядка r определим время взрыва T_c(r)=sup{t:E[S_t^r]<∞}; в некоторых моделях T_c(r) конечно для достаточно крайних r

Процесс может быть хорошо определен на каждой траектории, даже когда редкие исходы делают момент высокого порядка бесконечным

Поэтому взрыв момента отличается от касания дисперсией нуля, отрицательного состояния в симуляции или расхождения траектории актива за конечное время

Для срока T зададим p_c=sup{p≥0:E[S_T^{1+p}]<∞} для правого хвоста и q_c=sup{q≥0:E[S_T^{-q}]<∞} для левого хвоста

Больший p_c означает больше конечных положительных моментов и более легкий допустимый правый хвост; больший q_c дает аналогичную информацию около нуля

Критические значения зависят от срока, параметров модели, меры оценки и соглашения о включении или невключении границы

Пусть k=log(K/F_T), а полная подразумеваемая дисперсия w(k,T)=σ_imp(k,T)²T при согласованных форвардных соглашениях

Результат Ли для правого крыла таков: limsup_{k→∞} w(k,T)/k = ψ(p_c), где ψ(x)=2−4(√(x²+x)−x); для левого крыла используется ψ(q_c)

Функция убывает от 2 до 0, поэтому меньше конечных моментов допускает более крутое асимптотическое крыло, а больше моментов делает его более плоским

Формула относится к limsup при экстремальной логарифмической денежности, а не к локальному skew на котируемых страйках или точной линии от выбранного порога

Она определяет асимптотический наклон по информации о моментах, но не пересечение, кривизну, скорость сходимости или улыбку на конечных страйках

Отсутствие арбитража задает основу, но практической поверхности все равно нужны календарная и бабочковая согласованность по страйкам и срокам

В модели Хестона и других аффинных моделях волатильности экспоненциальные моменты связаны с обобщенными решениями Риккати на вещественных аргументах преобразования

Решение Риккати может взорваться для заданного порядка момента, что позволяет вычислить время взрыва или критический момент по параметрам модели

Характеристическая функция может оставаться корректной на вещественных частотах, даже когда комплексный сдвиг для преобразования опциона выходит за область моментов

Вычисляйте p_c и q_c по срокам, отдельно проверяйте мартингальное условие и убеждайтесь, что затухание преобразования остается внутри полосы конечных моментов

Сравнивайте подогнанные наклоны крыльев с границами Ли, доступным диапазоном опционов, проверками статического арбитража и неопределенностью параметров, а не с одной экстраполированной точкой

Считайте нестабильные критические моменты свидетельством модельного риска: небольшие изменения калибровки могут давать большие различия далеко за пределами ликвидных страйков