Realized GARCH: совместное моделирование доходностей и реализованной волатильности

Модели ARCH и GARCH выводят изменения дисперсии из последовательности доходностей. Энгл предложил ARCH, а Боллерслев развил его обобщённую форму (Engle, 1982; Bollerslev, 198690063-1)). Доходность — это шумный сигнал о масштабе движения за период: необычно малая доходность от закрытия до закрытия не означает, что торговая сессия была спокойной, а крупная доходность не показывает, каким путём сформировалось движение. Внутридневные цены дают отдельную реализованную меру, например реализованную дисперсию, которая содержит больше информации о движении внутри сессии.

Realized GARCH включает эту меру в динамику дисперсии. В базовой спецификации и вчерашняя условная дисперсия, и реализованная мера помогают обновить сегодняшнюю условную дисперсию. Кроме того, модель задаёт уравнение для самой реализованной меры. Это дополнительное уравнение принципиально важно: оно описывает связь меры со скрытой дисперсией и шоком доходности, а не оставляет её необъяснённым внешним входом.

В исходной статье сообщается о лучшем эмпирическом соответствии по сравнению с GARCH, основанной только на дневных доходностях, на выборке акций индекса Dow Jones и одного биржевого фонда. Это результат для конкретной выборки, а не гарантия более точных прогнозов Realized GARCH для любого актива или периода. Базовую модель только на доходностях см. в руководстве по GARCH.

Пусть rₜ — доходность за период t после удаления условного среднего, если модель его учитывает. Пусть hₜ — условная дисперсия rₜ при информации Fₜ₋₁, доступной в начале периода, а xₜ — положительная реализованная мера, наблюдаемая в течение периода t или в его конце. Например, xₜ может быть суммой квадратов внутридневных доходностей, выраженной в тех же единицах квадрата доходности, что и hₜ.

Временная последовательность имеет значение. Прогноз hₜ строится по информации, доступной до периода t; после наблюдения rₜ и xₜ модель обновляет прогноз дисперсии для следующего периода hₜ₊₁. Не используйте xₜ, утверждая, что прогноз hₜ был доступен до начала периода t.

Realized GARCH — динамическая модель доходностей и измеряемого прокси волатильности. Это не то же самое, что регрессия MIDAS, где структурированная функция весов лагов связывает данные разной частоты. Обе модели могут использовать внутридневную информацию, но до сравнения нужно определить уравнения, цели прогноза и момент доступности данных.

Распространённая модель Realized GARCH(1,1) состоит из уравнения доходности, уравнения дисперсии и уравнения измерения:

\[ rₜ = \sqrt{hₜ}\,zₜ \]

\[ \log hₜ = ω + β\log hₜ₋₁ + γ\log xₜ₋₁ \]

\[ \log xₜ = ξ + φ\log hₜ + τ(zₜ) + uₜ \]

Здесь zₜ — стандартизированная инновация доходности, uₜ — ошибка измерения, а τ(zₜ) позволяет наблюдаемой мере зависеть от шока доходности. Первое уравнение масштабирует шок с единичной дисперсией условным стандартным отклонением. Второе обновляет логарифм дисперсии по прошлому логарифму дисперсии и прошлому логарифму реализованной меры. Третье связывает наблюдаемый логарифм меры с текущим скрытым логарифмом дисперсии, шоком доходности и инновацией измерения.

Логарифмическая форма удобна: положительные hₜ и xₜ можно представить на неограниченной логарифмической шкале, а экспоненцирование прогноза дисперсии даёт положительное значение. Поэтому константа ω является константой уравнения логарифма дисперсии, а не самой долгосрочной дисперсией. В базовой модели параметры оцениваются совместно; их не следует интерпретировать как отдельные меры, не учитывая остальные уравнения.

Подстановка уравнения измерения для периода t−1 в уравнение обновления дисперсии показывает, как реализованная мера возвращается в динамику логарифма дисперсии:

\[ \log hₜ = (ω + γξ) + (β + γφ)\log hₜ₋₁ + γτ(zₜ₋₁) + γuₜ₋₁ \]

Для этой спецификации (1,1) устойчивость логарифма дисперсии суммирует β + γφ, а не только β. Уравнение измерения вносит вклад в обратную связь: более высокая предыдущая дисперсия связана с более высокой реализованной мерой, которая затем входит в следующее обновление. Эта алгебра помогает интерпретировать оценённые коэффициенты, но не доказывает стационарность каждой расширенной версии Realized GARCH. Для вывода нужны ограничения, соответствующие именно оцениваемой спецификации.

Хансен, Хуан и Шек представляют линейную и лог-линейную формы этой совместной модели и описывают структуру из трёх уравнений в своей статье (2012). Точный порядок лагов, реализованную меру, условное среднее и предположения об инновациях следует брать из оцениваемой спецификации.

Уравнение измерения объясняет, почему реализованная мера может изменяться вместе и со скрытой дисперсией, и с шоком доходности. Часто используют функцию эффекта рычага:

\[ τ(zₜ) = τ₁zₜ + τ₂(zₜ² − 1) \]

Линейный и центрированный квадратичный члены могут описывать асимметричную связь между шоками доходности и реализованной мерой. Форму связи задают коэффициенты; одна только формула не доказывает, что отрицательная доходность вызывает будущую волатильность.

В базовой формулировке статьи zₜ и uₜ моделируются как отдельные инновации: zₜ стандартизирована, а две инновации взаимно независимы. Это удобная статистическая спецификация, а не свидетельство того, что рыночные доходности или ошибки измерения в любой выборке имеют конкретное распределение. Для оценивания можно применять гауссово квазиправдоподобие, не утверждая, что нормальность является установленным фактом.

Это уравнение также отличает Realized GARCH от GARCH-X. GARCH-X может включать наблюдаемую меру в обновление дисперсии, не задавая динамику самой меры. Realized GARCH моделирует и реализованную меру, что позволяет строить прогнозы дальше одного шага, когда будущие значения этой меры ещё неизвестны. Модель описывает совместную статистическую связь, но не превращает реализованную меру во внешнюю причину.

Пусть оценки лог-линейной модели равны ω = −0.7824, β = 0.75 и γ = 0.15. В конце периода t предположим, что текущая условная дисперсия hₜ = 0.0004, а наблюдаемая реализованная мера xₜ = 0.0009. Все значения положительны, гипотетические и выражены в одной шкале дневной дисперсии десятичных доходностей.

Используем уравнение дисперсии, чтобы получить прогноз для периода (t+1):

\[ \begin{aligned} \log hₜ₊₁ &= −0.7824 + 0.75\log(0.0004) + 0.15\log(0.0009) \\ &\approx −7.7024 \\ hₜ₊₁ &= \exp(−7.7024) \approx 0.0004517 \end{aligned} \]

Соответствующее условное стандартное отклонение равно √0.0004517 ≈ 0.02125, то есть около 2.13% за указанный период доходности. Реализованная мера влияет на прогноз дисперсии следующего периода через оценённый коэффициент; этот расчёт не обновляет коэффициенты и не использует уравнение измерения, чтобы утверждать, что xₜ равно hₜ.

Пример показывает только арифметику. В нём нет неопределённости оценивания параметров и наблюдений вне выборки, поэтому он ничего не говорит о статистической значимости или о том, превосходит ли модель контрольную <!-- learn:illustration -->

Для оценивания нужны согласованные по времени наблюдения доходности и реализованной меры. Функция правдоподобия или квазиправдоподобия объединяет уравнение доходности с уравнением измерения, поэтому предположения о распределениях инноваций и их зависимости могут повлиять на оценки параметров. Следует указывать метод оценивания, предположения об инновациях, способ учёта условного среднего, реализованную меру и правила очистки данных, а не приводить только рекурсию дисперсии без модели измерения.

После закрытия каждого периода модель может использовать новую доходность и реализованную меру, обновить состояние и получить прогноз следующей дисперсии. Для прогноза на несколько шагов будущие значения x неизвестны. Полная спецификация Realized GARCH задаёт динамику реализованной меры, поэтому прогноз должен учитывать её будущее распределение или математическое ожидание, а не подставлять будущие реализованные значения из проверочной выборки.

Цель оценки должна соответствовать прогнозу: например, условная дисперсия доходности за следующий период или реализованная мера за тот же интервал. Согласуйте цель, прокси, единицы, горизонт и даты оценки. Правдоподобие внутри выборки сравнивает подгонку модели, но не заменяет хронологическую проверку прогноза.

Сохраняйте каждый прогноз на момент, когда он был бы доступен, переоценивайте модель только по информации, имевшейся к этому моменту, и сравнивайте её с выбранной заранее базовой моделью на общей выборке. Выберите функцию потерь до просмотра результатов и приводите парную разность потерь с оценкой неопределённости, учитывающей зависимость, когда это необходимо. В руководстве по QLIKE и квадратичной ошибке объясняется, почему свойства прокси и выбор функции потерь влияют на сравнение.

Полезность модели зависит от меры и временного интервала, которые она получает. Реализованная мера по внутридневным ценам может не учитывать ночное движение, тогда как rₜ является доходностью от закрытия до закрытия. В исходной статье допускается окно реализованной меры короче интервала доходности; уравнение измерения не обязывает считать xₜ несмещённой оценкой hₜ. Эта гибкость не делает несогласованные интервалы безвредными: интерпретация φ, цель прогноза и сравнение по-прежнему зависят от интервалов.

В статье приведён конкретный пример: мера по данным примерно за 6,5 торгового часа сочетается с условной дисперсией доходности от закрытия до закрытия за 24 часа. В такой постановке авторы ожидают φ < 1, поскольку внутридневная мера охватывает только часть полного интервала доходности. Поэтому оценённое φ зависит от меры, сессии и определения доходности; это не универсальная калибровочная константа, которую можно без изменений переносить на другой актив или дизайн выборки.

В высокочастотных данных также могут присутствовать отскоки между ценами спроса и предложения, асинхронная торговля, дискретность цен, устаревшие котировки и ошибки записи. Руководство по двухмасштабной реализованной волатильности описывает один оцениватель, разработанный для учёта части высокочастотного шума микроструктуры. Хансен и Лунде показывают, что шум микроструктуры рынка может существенно влиять на измерение реализованной дисперсии (2006). Другая прокси может изменить подгонку, прогнозы и оценку эффекта рычага.

Поскольку в лог-линейной модели используется log xₜ, выбранная мера должна быть строго положительной. Если данные могут быть нулевыми или отрицательными, преобразование, фильтр или нижний порог меняют модель и требуют обоснования и раскрытия. Проверьте, включает ли мера скачки, какую сессию она охватывает, как обрабатываются пропущенные бары и совпадают ли её единицы с дисперсией доходности. Большое количество внутридневных наблюдений само по себе не устраняет ошибку измерения.

Обычная GARCH использует лагированные доходности или квадраты инноваций и лагированную дисперсию. Realized GARCH включает реализованную меру в динамику дисперсии и моделирует её отдельным уравнением, связанным со скрытой дисперсией и шоками доходности. GARCH-X обычно рассматривает добавленную меру как внешний вход. MIDAS-регрессия применяет параметризованную кривую весов к лагам разных частот; GARCH-MIDAS — родственная гибридная модель, уравнения которой нужно изучать отдельно. Эти названия не взаимозаменяемы.

Модель прогнозирует определённую условную дисперсию или реализованную меру при заданных предположениях. Она не прогнозирует направление доходности, не доказывает, что внутридневная мера вызывает дисперсию следующего дня, и не устанавливает прибыльность стратегии. Высокое правдоподобие внутри выборки не гарантирует более точных будущих прогнозов. Для выводов о торговле нужен отдельно заданный сигнал и оценка после издержек, включающая спред, комиссии, рыночное воздействие, финансирование и ограничения риска.

Для воспроизводимого отчёта укажите актив и выборку, определение доходности и условное среднее, построение реализованной меры и окно сессии, уравнения модели и порядок лагов, предположения об инновациях, окно оценивания, момент выпуска прогноза и горизонт, базовую модель, функцию потерь и метод оценки неопределённости. Проверьте чувствительность к правдоподобным вариантам реализованной меры и раскройте исключения данных или корректировки для обеспечения положительных значений