QLIKE и квадратичная ошибка в прогнозах волатильности: шумные прокси

Модель волатильности прогнозирует, насколько широко могут разбросаться будущие доходности, а не то, окажется ли доходность положительной или отрицательной. Для оценки сначала задайте цель: например, условную дисперсию доходности следующего дня в квадратных базисных пунктах. Прогноз стандартного отклонения, прогноз дисперсии и внутридневная оценка реализованной дисперсии связаны, но их нельзя считать взаимозаменяемыми без указанного преобразования и горизонта.

Этот вопрос не зависит от того, как именно модель строит прогноз. В руководстве по GARCH описан один из способов обновлять условную дисперсию по прошлым доходностям. Здесь мы начинаем с момента, когда две или более модели уже выдали прогнозы, и выбираем способ оценить их по несовершенному измерению фактически реализованной дисперсии.

У выражения «лучший прогноз» нет единственного смысла, пока не определены цель, выборка оценки и функция потерь. Одна и та же модель может занять первое место по одной функции потерь и второе по другой, поскольку каждая из них придаёт ошибкам свой вес

Обозначим через vₜ ненаблюдаемую условную дисперсию целевой доходности, через hₜ — прогноз, построенный с использованием информации, доступной до этой доходности, а через xₜ — наблюдаемый прокси-показатель для оценки. Распространённый прокси — квадрат доходности, но он является условно несмещённой оценкой дисперсии только при нулевом условном среднем доходности. Если условное среднее не равно нулю, квадрат исходной доходности оценивает условный второй момент, а не условную дисперсию; в качестве альтернативы прокси можно построить по доходностям после удаления условного среднего. Реализованная дисперсия, рассчитанная по внутридневным доходностям, может точнее описывать движение в течение сессии, но всё равно измеряет конкретный интервал и зависит от правил выборки и ценовых данных.

Вычитание среднего не устраняет смещение прокси автоматически, если условное среднее оценивается. Если mₜ = E[rₜ | Fₜ₋₁], hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁), а оценка среднего m̂ₜ зафиксирована по информации, доступной в момент прогноза, то E[(rₜ − m̂ₜ)² | Fₜ₋₁] = hₜ + (mₜ − m̂ₜ)². Следовательно, любая прогнозируемая ошибка оценки среднего добавляет к прокси неотрицательное слагаемое. Прежде чем ссылаться на результат об условной несмещённости, укажите, как оценивается среднее и на что нацелен прокси — на дисперсию или второй момент.

Значения xₜ и hₜ должны относиться к одному активу, определению доходности, временному интервалу, горизонту и системе единиц. Если xₜ измеряется в bp², то и hₜ должен быть в bp², а функция квадратичной ошибки будет иметь единицы bp⁴. Не следует оценивать прогноз условной дисперсии от закрытия до закрытия по реализованной мере без ночного интервала, если только именно такой показатель не является целевой величиной.

Сохраняйте прокси и прогнозы всех моделей для одних и тех же моментов прогноза. Если у какой-либо модели пропущено значение, заранее задайте общую выборку или обоснованное правило обработки пропусков. Сравнение средних по разным датам смешивает качество моделей с различиями в рыночных условиях, с которыми столкнулась каждая из них

Для неотрицательного прокси дисперсии xₜ и положительного прогноза дисперсии hₜ функция квадратичной ошибки имеет вид

L_MSE(xₜ, hₜ) = (xₜ − hₜ)²

Функция потерь QLIKE задаётся формулой

L_QLIKE(xₜ, hₜ) = log(hₜ) + xₜ / hₜ

Чем ниже оценка, тем лучше. При строго положительном xₜ QLIKE часто записывают в эквивалентной форме отношения: xₜ/hₜ − log(xₜ/hₜ) − 1. Эти формулы отличаются слагаемым, зависящим от наблюдаемого прокси, но не от прогноза, поэтому на общей выборке дают одинаковое ранжирование. Форма с log(hₜ) определена и при нулевом xₜ, если hₜ положителен. Patton определяет эти функции потерь для дисперсии и изучает их свойства при несовершенных прокси (Patton, 2011).

QLIKE соответствует оценке дисперсии на основе гауссовского квазиправдоподобия (Хансен и Лунде, 2005). Эта связь не доказывает, что доходности имеют гауссовское распределение, а низкая оценка не подтверждает верность распределительных предположений модели. Квадратичная ошибка измеряет квадрат абсолютной разницы между прокси и прогнозом. Важно выбрать функцию потерь, соответствующую цели сравнения и предположениям о прокси

Квадратичная ошибка измеряется в квадрате единиц дисперсии и быстро растёт, когда прокси и прогноз сильно различаются. Поэтому несколько очень больших значений прокси могут определять среднюю оценку. Такой подход уместен, если крупные абсолютные ошибки дисперсии должны получать особенно большой вес, но результат становится чувствительным к экстремальным наблюдениям.

Умножение xₜ и hₜ на одну и ту же положительную константу пересчёта c добавляет log(c) к log(hₜ) + xₜ/hₜ. Эта добавка одинакова для всех прогнозов, оцениваемых на одной и той же выборке прокси, поэтому их ранжирование не меняется; абсолютное значение логарифмического слагаемого при этом зависит от выбранной единицы измерения. QLIKE учитывает отношение прогноза к прокси через xₜ/hₜ, а масштаб hₜ — через log(hₜ). Если прогноз намного ниже большого значения прокси, дробный член резко растёт; за завышение прогноза тоже приходится платить из-за роста log(hₜ), но для сопоставимых пропорциональных ошибок медленнее. QLIKE не защищает от выбросов: экстремально большой прокси всё равно увеличивает xₜ/hₜ.

Ни одна функция не лучше для любого решения. Квадратичная ошибка сильнее взвешивает большие абсолютные ошибки в единицах дисперсии, а QLIKE иначе оценивает относительные ошибки. Утверждение Patton о робастности ранжирования при шумном прокси не означает, что эти функции ранжируют модели одинаково или не чувствительны к выбросам

Пусть наблюдаемые прокси дисперсии равны x = [1, 4] bp². Модель A прогнозирует hᴬ = [1, 1] bp², а модель B — hᴮ = [4, 2] bp². Числа условные и нужны лишь для демонстрации того, как выбор функции потерь меняет порядок моделей.

По MSE лучше модель A: её средняя оценка равна 4,5 bp⁴ против 6,5 bp⁴ у модели B. По QLIKE лучше модель B: средняя оценка около 2,165 против 2,5 у A. Эти две строки показывают только арифметику. Их слишком мало, чтобы оценить неопределённость или доказать превосходство прогноза, и они ничего не говорят о торговой стратегии <!-- learn:illustration -->

Прокси волатильности может быть шумным, но условно несмещённым. Пусть E[xₜ | Fₜ₋₁] = vₜ, где Fₜ₋₁ — информация, доступная в момент составления прогноза. Тогда для прогноза hₜ, построенного на этой информации, условное ожидаемое значение квадратичной ошибки равно

E[(xₜ − hₜ)² | Fₜ₋₁] = (vₜ − hₜ)² + Var(xₜ | Fₜ₋₁)

Дисперсионное слагаемое не зависит от того, какой прогноз оценивается. Оно одинаково повышает ожидаемую MSE всех прогнозов и сокращается при сравнении их ожидаемых потерь. Для QLIKE условная несмещённость даёт

E[log(hₜ) + xₜ/hₜ | Fₜ₋₁] = log(hₜ) + vₜ/hₜ

Это та же оценка, которая получилась бы при использовании скрытой дисперсии вместо прокси. При этих условиях обе функции сохраняют ожидаемый порядок конкурирующих прогнозов дисперсии относительно скрытой цели. Patton (2011) называет это робастностью ранжирования к прокси; речь идёт о сохранении ожидаемого порядка при шуме, а не об устойчивости к выбросам.

Результат предполагает одну и ту же условную информационную совокупность, условно несмещённый прокси, положительные прогнозы для QLIKE и конечные ожидаемые потери. Он не означает, что MSE и QLIKE одинаково ранжируют модели между собой. В примере выше обе функции применяются к одним и тем же шумным наблюдениям, но по-разному взвешивают ошибки прогнозов

Неизменность ожидаемого ранжирования не гарантирует, что каждая наблюдаемая выборка повторит порядок по скрытой дисперсии. Шум прокси увеличивает разброс наблюдаемых потерь и может снижать мощность сравнения прогнозов. На коротком отрезке несколько случайно высоких или низких значений прокси могут поменять места моделей, даже если в среднем условная несмещённость выполняется.

Гарантия также теряется, если прокси условно смещён относительно заданной цели. На высокочастотную реализованную дисперсию могут влиять скачки между котировками покупки и продажи, устаревшие или несинхронные котировки, частота выборки и отсутствие ночных доходностей. Прокси внутридневной интегрированной дисперсии может быть смещённой оценкой условной дисперсии от закрытия до закрытия. В руководстве по расчёту реализованной волатильности описаны правила её построения, а в руководство по реализованной волатильности с двумя масштабами представлен один оцениватель, разработанный для учёта части высокочастотного микроструктурного шума. Хансен и Лунде (2006) показывают, как такой шум может влиять на измерение реализованной дисперсии.

Здесь «робастность» имеет узкое значение: если прокси условно несмещён, ожидаемый порядок прогнозов сохраняется. Это не означает, что выборочная оценка игнорирует выбросы, любая мера реализованной волатильности несмещённа или сравнение защищено от несовпадения цели. Укажите, что именно измеряет прокси и на каких предположениях основана связь с vₜ

Для двух прогнозов hᴬₜ и hᴮₜ, зафиксированных в один и тот же момент, ожидаемая разность MSE равна E[L_MSE(xₜ,hᴬₜ) − L_MSE(xₜ,hᴮₜ) | Fₜ₋₁] = (vₜ − hᴬₜ)² − (vₜ − hᴮₜ)². При том же условии для прокси ожидаемая разность QLIKE равна log(hᴬₜ) + vₜ/hᴬₜ − log(hᴮₜ) − vₜ/hᴮₜ. Эти выражения показывают, что устраняет устойчивость ранжирования к прокси: дополнительный шум в ожидаемой оценке по прокси. Однако сравнения прогнозов остаются разными, поскольку MSE и QLIKE приписывают ошибкам разные издержки.

После выбора оценки рассчитайте парную разность потерь для каждого общего момента прогноза. Пусть dₜ = L_A,ₜ − L_B, тогда положительное среднее означает, что потери B ниже. Тест Диболда — Мариано проверяет по временной последовательности парных разностей, равна ли нулю их ожидаемая величина. Он не выбирает между QLIKE и MSE и не определяет, какая цель важнее. Более широкая схема вывода описана в руководстве по тесту Диболда — Мариано.

Если многошаговые горизонты перекрываются или разности оценок автокоррелированы по другим причинам, используйте стандартную ошибку, учитывающую зависимость, например подходящую HAC-оценку. Ньюи и Уэст (1987) предложили положительно полуопределённую HAC-оценку ковариационной матрицы. Укажите горизонт, моменты оценки, знак разности потерь, метод оценки ковариации и, когда это уместно, ядро и ширину окна. Низкое p-значение не устраняет проблему смещённого прокси или несовпадения цели

Используйте хронологическую проверку вне обучающей выборки и сохраняйте прогнозы, которые каждая модель действительно выдала бы в соответствующий момент. До сравнения результатов зафиксируйте цель, способ построения прокси, горизонт, единицы, общую выборку и функцию потерь. Укажите окна оценки, правила переоценки параметров, обработку пропусков и то, использовалась ли выборка оценки для многократной настройки моделей. Если вы сравнили MSE и QLIKE, но сообщили только победившую оценку, раскройте этот выбор, а не представляйте его как единственную заранее заданную проверку.

Покажите среднюю потерю каждой модели, парную разность, размер выборки, определение прокси и метод статистического вывода. Для QLIKE требуется hₜ > 0; если используется нижняя граница прогноза, задайте её до оценки, поскольку она способна изменить результат. Проверьте чувствительность к обоснованным вариантам прокси и выборки, помня, что множество таких проверок создаёт проблему отбора.

Низкая потеря волатильности измеряет качество по заданной функции и прокси. Она не доказывает, что предиктор вызывает изменение волатильности, что доходности распределены нормально или что использующая прогноз стратегия принесёт прибыль после спредов, комиссий, проскальзывания, финансирования и ограничений риска. Точность прогноза и результаты торговли требуют отдельных доказательств