Максимальное правдоподобие и байесовский вывод в финансах
Сравните максимизацию правдоподобия с обновлением апостериорного распределения, включая априорные распределения, MAP, неопределённость, регуляризацию, прогнозирование, ошибочную спецификацию и чувствительность финансовых режимов
Короткий ответ
Метод максимального правдоподобия выбирает значения параметров, при которых наблюдаемые данные наиболее вероятны в заданной модели. Байесовский вывод объединяет то же правдоподобие с априорным распределением и получает апостериорное распределение параметров и прогнозов. Ни один метод не исправляет неверное правдоподобие, нестабильный режим, смещение отбора или плохие данные
Оба метода начинаются с вероятностной модели
Для данных y и параметра θ функция правдоподобия L(θ;y)=p(y|θ) рассматривает плотность выборки как функцию θ при фиксированном y
Это не вероятность того, что θ истинно, а умножение на константу, не зависящую от θ, не меняет сравнение правдоподобий
Процесс наблюдения, зависимость, цензурирование, транзакционные издержки и механизм пропусков должны быть частью модели ещё до оценки
Максимальное правдоподобие выбирает точку
Оценка максимального правдоподобия θ̂ максимизирует L или log L и при регулярности и правильной спецификации часто обладает состоятельностью, асимптотической нормальностью и эффективностью
Кривизна, профилированное правдоподобие, сэндвич-оценки или бутстрэп могут измерять неопределённость вокруг точечной оценки
Параметры на границе, слабая идентификация, мультимодальность, малые выборки и толстые хвосты могут сделать стандартные асимптотические ошибки ненадёжными
Байесовский вывод обновляет распределение
Правило Байеса задаёт p(θ|y)∝p(y|θ)p(θ), объединяя правдоподобие с априорным распределением, которое должно быть собственным или математически обоснованным иным способом
Апостериорные сводки могут включать средние, медианы, доверительные области, вероятности хвостов и полное распределение производных величин риска
Апостериорное распределение условно на модели и априорном выборе; это не безусловное доказательство того, что найден процесс генерации данных
MAP — не весь байесовский ответ
Оценка максимума апостериорного распределения максимизирует логарифм правдоподобия плюс логарифм априорного распределения и может напоминать оптимизацию со штрафом
MAP меняется при нелинейной перепараметризации, потому что мода плотности зависит от координат, тогда как апостериорные вероятности преобразуются согласованно
Сведение байесовского вывода к одной точке MAP отбрасывает неопределённость параметров и делает метод более похожим на максимальное правдоподобие, чем он является на самом деле
Априорные распределения и штрафы кодируют предпосылки
Слабо информативные априорные распределения могут регуляризовать нестабильные параметры, задавать правдоподобные масштабы и исключать невозможные области
Частотная штрафная функция может дать сходное численное сжатие без трактовки штрафа как вероятностного распределения
Чувствительность к семейству априорных распределений, гиперпараметрам, ограничениям и параметризации следует показывать, а не скрывать за настройкой по умолчанию
Финансы усиливают модельный и режимный риск
Короткие истории, редкие кризисы, скрытая волатильность, нестационарность и меняющаяся микроструктура рынка оставляют мало асимптотической информации
Апостериорное распределение может стать узко и уверенно неверным, если жёсткое правдоподобие принимает структурный разрыв за множество подтверждающих наблюдений
Скользящая оценка, иерархическое объединение, динамика пространства состояний, устойчивые правдоподобия и явные модели разрывов решают разные задачи и основаны на разных предпосылках
Честнее всего сравнивать прогнозы
Оценивайте прогнозные распределения на действительно отложенных будущих периодах по логарифмическим оценкам, калибровке, покрытию, хвостовым потерям и полезности решения
Для байесовских моделей проверяйте априорное и апостериорное предиктивное поведение, диагностику сходимости, эффективный объём выборки и чувствительность
Для каждого метода сравнивайте альтернативные правдоподобия и режимы, потому что вычислительная сходимость не является статистической валидацией
Частые вопросы
Что такое оценка максимального правдоподобия?
Она выбирает значения параметров, при которых заданная модель приписывает наблюдаемым данным наибольшее правдоподобие
Что добавляет байесовский вывод?
Он объединяет правдоподобие с априорным распределением и возвращает апостериорное распределение параметров, прогнозов и производных величин
Является ли оценка MAP тем же, что и MLE?
Только при плоском априорном распределении в выбранной параметризации; обычно MAP включает априорное распределение и зависит от координат
Всегда ли байесовский вывод лучше при малом объёме данных?
Нет. Априорные распределения могут стабилизировать слабые данные, но плохое априорное распределение или ошибочное правдоподобие также могут создать уверенные ошибки