Закон больших чисел и центральная предельная теорема

Для наблюдений X_1,…,X_n со средним μ выборочное среднее равно X̄_n=n^(−1)Σ_iX_i

ЗБЧ спрашивает, приближается ли X̄_n к μ при росте n, а ЦПТ — каково предельное распределение масштабированной разности, например √n(X̄_n−μ)

Сходимость к правильному значению сама по себе не даёт ни скорости ошибки, ни формы, ни доверительного интервала, ни полезного приближения для конечной выборки

Слабый ЗБЧ утверждает, что P(|X̄_n−μ|>ε)→0 для каждого ε>0 при выполнении указанных условий

Он говорит, что вероятность ошибки фиксированного размера исчезает, а не что каждая реализованная траектория навсегда останется близкой

Для независимых одинаково распределённых наблюдений конечного математического ожидания достаточно для широкого слабого закона, тогда как простые доказательства через дисперсию часто предполагают конечную дисперсию

Сильный ЗБЧ утверждает X̄_n→μ почти наверное: сходимость выполняется для всех исходов вне одного множества вероятности ноль

Сходимость почти наверное влечёт сходимость по вероятности, но обратное без дополнительной структуры неверно

Сильный закон остаётся асимптотическим и не говорит, насколько большим должно быть n для конкретной допустимой ошибки решения

Для независимых величин с конечной положительной дисперсией σ² величина √n(X̄_n−μ)/σ сходится по распределению к N(0,1)

Множитель √n не даёт уменьшающейся ошибке схлопнуться в ноль и раскрывает её невырожденную предельную форму

ЗБЧ может выполняться, когда классическая ЦПТ нарушается, например при тяжёлых хвостах, когда среднее существует, а дисперсия — нет

Стационарные эргодические процессы могут удовлетворять ЗБЧ, тогда как ЦПТ дополнительно требует достаточного контроля зависимости и колебаний

Финансовые временные ряды могут менять среднее, дисперсию, экспозицию, ликвидность и режим, поэтому одна длинная запись не обязана вести себя как повторные выборки из одного закона

Большее число наблюдений из одного кризисного кластера или устаревшего режима может давать меньше эффективной информации, чем показывает число строк

Средний идиосинкратический шок может стабилизироваться в достаточно большом числе слабо зависимых позиций, что напоминает эффект ЗБЧ

Общие факторы, хвостовая зависимость, концентрированные веса и коррелированные дефолты не исчезают только потому, что в портфеле много названий

Так же и длинная средняя доходность не обязательно выявляет постоянную ожидаемую доходность, если сам набор возможностей меняется

Постройте графики текущих средних и оценок по подвыборкам, затем изучите зависимость, структурные разрывы, хвостовые моменты и эффективный объём выборки

Используйте стандартную ошибку, обоснованную соответствующей ЦПТ или схемой ресэмплирования, а не принимайте сходимость среднего за оценку неопределённости

До обращения к любой из теорем укажите оцениваемую величину, условия сходимости, горизонт, полосы ошибки и чувствительность к окнам и режимам