Прямое и обратное уравнения Колмогорова: объяснение
Узнайте, как генераторы развивают условные стоимости назад, а плотности вероятности вперед, и как это связано с уравнением Фоккера—Планка, оценкой, калибровкой и границами
Короткий ответ
Обратное уравнение Колмогорова развивает будущую выплату как функцию текущего состояния. Прямое уравнение, называемое уравнением Фоккера—Планка для диффузий, развивает распределение будущих состояний из начального закона
Переходы Маркова связывают три момента времени
Марковский процесс использует оператор перехода P_{s,t}g(x) = E[g(X_t) | X_s=x], переводящий будущую функцию в текущее состояние
Соотношение Чепмена—Колмогорова P_{s,t}P_{t,u} = P_{s,u} говорит, что вставка промежуточного времени не меняет переход
Прямое и обратное уравнения — дифференциальные взгляды на одну и ту же полугруппу или двухпараметрическое семейство эволюции
Генератор описывает бесконечно малое изменение
Для dX_t = b(t,X_t)dt + σ(t,X_t)dW_t генератор равен L_tφ = b∂_xφ + 1/2a∂_{xx}φ при a = σ²
Он действует на тестовые функции состояния и суммирует их мгновенное условное изменение
Генератор зависит от процесса, пространства состояний, области определения и поведения на границах; одной формальной дифференциальной записи недостаточно
Обратное уравнение действует на начальное состояние
Для конечной функции g определите u(s,x) = E[g(X_t) | X_s=x] при s ≤ t
При подходящей регулярности u удовлетворяет ∂_s u + L_su = 0 и конечному условию u(t,x) = g(x)
Оно называется обратным, потому что конечная функция фиксирована, а время условия s движется к настоящему моменту
Сопряженный оператор перемещает распределения
Сопряженный оператор L_t† определяется равенством ∫φ L_t†ρ dx = ∫ρ L_tφ dx после учета граничных членов
Для одномерной диффузии L_t†ρ = -∂_x(bρ) + 1/2∂_{xx}(aρ)
Сопряженность переносит генератор с тестовых функций на плотности и меняет направление производных там, где этого требует интегрирование по частям
Прямое уравнение распространяет массу вероятности
Если ρ(t,x) — плотность состояния, она удовлетворяет ∂_tρ = L_t†ρ, начиная с начального распределения
То же уравнение для переходной плотности развивает переменную назначения, удерживая начальную точку фиксированной
Нормировка, неотрицательность, поток и граничные условия определяют, является ли формальное решение допустимым вероятностным законом
Финансы используют оба направления для разных задач
Оценка деривативов обычно решает обратное уравнение от конечной выплаты, а дисконтирование добавляет член уничтожения
Прогноз распределения, профили экспозиции, калибровка плотности и некоторые расчеты риска решают прямое уравнение от сегодняшнего закона состояния
Два результата должны согласовываться интегрированием: обратная стоимость равна будущей выплате, проинтегрированной по прямой переходной плотности
Границы и численные методы могут нарушить двойственность
Поглощающие, отражающие, входные и недостижимые границы задают разные условия стоимости и вероятностного потока
Проверяйте сохранение или целевую потерю массы, положительность, начальные и конечные данные, дискретизацию сопряженного оператора и сходимость при расширении сетки
Независимая оценка Монте—Карло может выявить ошибки знака, дрейфа, границы и направления времени в любом PDE-решателе
Частые вопросы
В чем разница между прямым и обратным уравнениями Колмогорова?
Обратное развивает функцию начального состояния, а прямое развивает закон конечного состояния
Является ли прямое уравнение уравнением Фоккера—Планка?
Для диффузионных процессов — да. Фоккера—Планка — распространенное название прямого уравнения Колмогорова для плотности
Какое уравнение используют для оценки опционов?
Европейские опционы обычно распространяют назад от конечной выплаты, а прямые уравнения могут развивать плотности цен состояний
Почему важны граничные условия?
Они определяют, поглощается, отражается, сохраняется или становится недостижимой вероятность, и тем самым меняют распределения и стоимости