Преобразование Эшера в оценке опционов: объяснение

Для случайной величины X с конечным M(θ) = E[e^{θX}] задайте dQ_θ/dP = e^{θX}/M(θ)

Положительное θ усиливает вес больших исходов, а отрицательное — малых; нормировка делает новые веса суммирующимися в единицу

Преобразование меняет вероятности, а не наблюдаемые исходы, и существует только там, где конечен экспоненциальный момент

Пусть κ(u) = log E[e^{uX}] на области моментов

При мере Эшера кумулянт равен κ_θ(u) = κ(u+θ) - κ(θ)

Производные κ_θ в нуле дают наклоненные моменты, когда они конечны, что удобно для седловых методов и расчетов риска

Для процесса Леви X_t процесс плотности имеет вид Z_t = exp(θX_t - tκ(θ))

Независимые стационарные приращения делают Z положительным мартингалом, когда θ лежит в допустимой области моментов

При Q_θ процесс остается процессом Леви, но его дрейф и закон скачков меняются, тогда как траектории и нулевые события остаются совместимыми

При соответствующих соглашениях мера скачков меняется с ν(dx) на ν_θ(dx) = e^{θx}ν(dx)

Броуновская дисперсия остается прежней, а дрейф корректируется с учетом броуновского наклонения, компенсации скачков и соглашения об усечении

Поэтому сравнение параметров дрейфа без указания функции усечения может создать ложное расхождение

Для S_t = S_0e^{X_t} с переносом r-q дисконтированная мартингальность требует κ_θ(1) = r-q

Эквивалентно, нужно решить κ(θ+1) - κ(θ) = r-q, когда оба экспоненциальных момента существуют

Уравнение может не иметь решения, иметь одно решение или быть численно нестабильным около границы моментов; выбор параметра не автоматичен

Скачковый риск обычно не покрывается полностью, поэтому многие эквивалентные мартингальные меры могут удовлетворять отсутствию арбитража

Правило Эшера выбирает одну меру, сохраняя экспоненциально наклоненное семейство моделей, но одно отсутствие арбитража не делает ее предпочтительной перед всеми альтернативами

Предпочтения, цели калибровки, критерии энтропии, задачи хеджирования или рыночные соглашения могут привести к другой мере

Проверьте область моментов для θ и θ+1, нормировку плотности, эквивалентность носителя, мартингальное равенство и преобразованный триплет

Перекалибруйте модель для разных сроков и режимов: устойчивый выборочный θ может скрывать нестабильную экстраполяцию хвостов

Сравнивайте цены опционов и ошибки хеджа при других допустимых мерах, чтобы увидеть стоимость модельного риска выбора Эшера