Тесты смещения знака и размера Engle–Ng для моделей волатильности

Модель может описывать кластеризацию размеров доходностей, но упускать различия во влиянии шоков на будущую дисперсию. Симметричная GARCH приписывает одинаковым по размеру положительным и отрицательным инновациям одинаковое влияние на дисперсию. Если после шоков разного знака в стандартизированных остатках остаются разные закономерности, для этой выборки ограничение может быть слишком сильным.

Engle и Ng рассматривают это как диагностику после оценки: объясняет ли знак или размер предыдущей инновации сегодняшнюю нормированную квадратичную ошибку? В исходной статье определена кривая воздействия новостей и сопоставлены модели на дневных доходностях японских акций. Полученный рейтинг относится к той выборке, а не ко всем рынкам (Engle и Ng, 1993).

Здесь «смещение» означает остаточную зависимость от знака или размера, которую модель дисперсии не объясняет, а не статистическое смещение оценок параметров. Сначала задайте модель GARCH, затем оцените, подходит ли её реакция на шоки для цели и выборки.

Запишем доходность так:

\[ r_t = \mu_t + \epsilon_t, \]

Здесь \(\mu_t\) — условное среднее, а \(\epsilon_t\) — инновация после оценки модели среднего. \(h_t\) — оценённая условная дисперсия; стандартизированный остаток сопоставляет инновацию с масштабом дисперсии, предсказанным моделью.

\[ h_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal F_{t-1}), \qquad \hat z_t=\frac{\hat\epsilon_t}{\sqrt{\hat h_t}}. \]

При подходящей спецификации дисперсии \(\hat z_t^2\) не должен систематически становиться больше или меньше после определённых прошлых шоков сверх того, что объясняет модель. Стандартизация убирает предсказанный масштаб дисперсии; квадраты необработанных остатков могут сохранять обычную кластеризацию волатильности. До интерпретации p-значения задайте уравнение среднего, остаток, дисперсию, выборку и единицы измерения.

Определим индикатор отрицательной предыдущей инновации и его дополнение:

\[ S^-_{t-1}=\mathbf 1(\hat\epsilon_{t-1}<0), \qquad S^+_{t-1}=1-S^-_{t-1}. \]

Регрессор теста знака — \(S^-\), отрицательного размера — \(S^-\hat\epsilon\), положительного размера — \(S^+\hat\epsilon\). Они отвечают на разные вопросы: важен ли только знак и добавляет ли размер информацию внутри каждой ветви? Укажите, как классифицируется нулевая инновация и какие используются единицы: коэффициенты размера зависят от единиц.

Кривая воздействия новостей показывает, как новая инновация при неизменных прочих состояниях переходит в следующую условную дисперсию. Кривая симметричной GARCH симметрична относительно нуля; асимметричные спецификации ослабляют это ограничение. Это свойство модели, а не непосредственно измеренная причинная реакция рынка.

\(\mathbf z_{ot}^*\) — вектор нормированных производных сохраняемой условной дисперсии по мешающим параметрам, вычисленных при нулевой гипотезе. Это слагаемые, связанные со score/производными, и они не обязательно совпадают с исходными регрессорами уравнения дисперсии. Каждая вспомогательная регрессия добавляет член знака или размера, сохраняя остальные члены.

Тест знака проверяет, помогает ли знак предыдущей инновации предсказать текущий квадрат стандартизированного остатка при сохранении остальных членов нулевой спецификации дисперсии. Вспомогательная регрессия имеет вид:

\[ \hat z_t^2=a+b_s S^-_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

Индивидуальная нулевая гипотеза: \(b_s=0\). Индикатор знака — добавленный проверяемый член. Значимый коэффициент указывает на разные закономерности остаточной дисперсии после отрицательных и неотрицательных шоков при заданной модели.

Это не означает, что отрицательная доходность всегда повышает волатильность. Тест не определяет причинный механизм и не охватывает все возможные нелинейные реакции. Отклонение нулевой гипотезы — повод проверить модель и данные.

Тест сосредоточен на отрицательной ветви и проверяет, объясняет ли размер инновации оставшуюся закономерность:

\[ \hat z_t^2=a+b_- S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

Индивидуальная нулевая гипотеза — \(b_-=0\). При единичном значении индикатора инновация отрицательна, поэтому знак коэффициента нужно трактовать с учётом кодировки и единиц. Тест проверяет, добавляет ли размер шока информацию сверх модели дисперсии; он не доказывает причинность плохих новостей или более точный прогноз.

Вспомогательные регрессоры могут коррелировать, из-за чего вклад отдельных членов трудно разделить. Интерпретируйте индивидуальные тесты вместе с полной регрессией и совместным тестом.

В связанных работах сравниваются асимметричные спецификации дисперсии, включая GJR, однако эмпирические выводы относятся к данным и допущениям конкретных исследований (Glosten, Jagannathan и Runkle, 1993).

<!-- learn:illustration -->

Соответствующий тест рассматривает ветвь положительных инноваций:

\[ \hat z_t^2=a+b_+ S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

Нулевая гипотеза — \(b_+=0\). Тест может быть значимым, даже если тест знака незначим: реакция внутри одной ветви может зависеть от размера без простой средней разницы между знаками.

«Смещение размера положительных шоков» не означает, что положительные доходности обязательно повышают или понижают волатильность. EGARCH Нельсона и пороговая модель Закояна допускают асимметричную динамику дисперсии; это альтернативы для проверки, а не автоматические исправления или всегда лучшие модели.

(Nelson, 1991; Zakoian, 199490039-6)).

Все три регрессора можно проверить совместно в одной вспомогательной регрессии:

\[ \hat z_t^2=a+b_1S^-_{t-1}+b_2S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+b_3S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

Совместная нулевая гипотеза: \(b_1=b_2=b_3=0\). При сохранении остальных членов нулевой модели и стандартных условиях большой выборки LM асимптотически сравнивают с распределением хи-квадрат с 3 степенями свободы. Распространённая форма — \(LM=M R^2\), где \(M\) — число используемых строк, а \(R^2\) рассчитан для указанной регрессии. Следуйте уравнению и правилам конечной выборки выбранной реализации.

Engle и Ng отмечают: если исключить \(\mathbf z_{ot}^*\) из совместной регрессии, тест будет консервативным — его размер не превысит номинальный уровень, но мощность может снизиться.

Только гипотетический пример: при \(M=400\) и \(R^2=0.012\) получаем \(LM=4.8\). Критическое значение 5% для хи-квадрат с 3 степенями свободы — примерно 7.81, поэтому здесь гипотеза не отвергается. Это иллюстративные числа, не эмпирический результат и не доказательство симметрии.

Малое p-значение — повод исследовать конкретную остаточную закономерность, но не выбрать альтернативную модель, доказать причинный механизм рычага или экономическую ценность прогноза. Большое p-значение означает лишь, что тест не обнаружил выбранную закономерность в этой выборке.

Вспомогательные регрессоры могут коррелировать, особенно индикатор знака и член отрицательного размера; это снижает мощность отдельных тестов. Также важны размер выборки, оценивание и сохранённая спецификация. Проверка множества активов, моделей, лагов и окон повышает вероятность случайно получить малое p-значение.

Выбросы, скачки, структурные сдвиги, пропущенная динамика среднего или несогласованные единицы инноваций могут изменить результат. Фиксируйте определение доходности, окно оценки, кодировку знака и метод вывода; указывайте ограничения асимптотического приближения и при необходимости используйте подходящий бутстрэп.

ARCH LM спрашивает, объясняют ли лагированные квадраты остатков текущий квадрат остатка; см. руководство ARCH-LM. Engle–Ng проверяет заданные члены знака и размера ветви. Ljung–Box проверяет автокорреляцию остатков и отвечает на другой вопрос.

После отклонения можно оценить асимметричную модель, например GJR-GARCH, EGARCH или пороговую, повторно проверить остатки и отдельно оценить прогнозы. QLIKE и квадратичная ошибка оценивают уже построенные прогнозы, а не заменяют диагностику спецификации остатков.

Если прогноз волатильности используется в торговом правиле, проверяйте его вне выборки с учётом комиссий, спреда, рыночного воздействия, финансирования и ограничений риска. Тесты смещения знака и размера не являются сигналами покупки или продажи.