Разложения Эджворта и Грамма—Шарлье: объяснение

После стандартизации переменной оба метода обычно записывают поправки к нормальной плотности через полиномы Эрмита

Асимметрия создает несимметричную поправку, а избыточный эксцесс меняет форму плеч и хвостов относительно гауссовой основы

Общие обозначения делают два разложения похожими, хотя их вывод и интерпретация различаются

Ряд Грамма—Шарлье выражает целевую плотность через производные опорной плотности, взвешенные разностями кумулянтов

Практическое усечение может сохранять члены асимметрии и эксцесса из-за их интерпретируемости, а не потому, что они имеют один контролируемый порядок ошибки

Сходимость может быть плохой или отсутствовать, а добавление новых формальных членов не обязано улучшать приближение в выбранной точке

Для стандартизированных сумм кумулянты убывают с известными скоростями по n, что позволяет группировать поправки по степеням вроде n^{-1/2}

На следующем порядке могут появиться и четвертые кумулянты, и квадрат третьего кумулянта, а не просто следующий полином Эрмита

Поэтому усечение Эджворта имеет смысл только вместе с последовательностью, нормировкой и областью заявленной асимптотической применимости

Приближенную оценку опциона можно получить интегрированием выплаты по скорректированной риск-нейтральной плотности или разложением около эталона вроде Блэка—Шоулза

Джарроу—Радд строит разложение около выбранного приближенного распределения, а Коррадо—Су адаптирует поправки Грамма—Шарлье для асимметрии и эксцесса

Подогнанные кумулянты являются риск-нейтральными величинами оценки, если выведены из опционов, а не прямыми прогнозами частот физических доходностей

Многие распределения имеют одинаковые первые четыре момента, но приписывают совершенно разные вероятности обвалам или экстремальным ралли

Поправки Эрмита быстро растут вдали от центра, поэтому малый около среднего член может доминировать и колебаться в хвостах

Выборочные или подразумеваемые моменты более высокого порядка также шумны, поэтому коэффициенты нестабильны и сильно зависят от диапазона страйков для калибровки

Приближенная плотность может стать отрицательной, не интегрироваться в единицу или дать убывающую функцию распределения на части области

В пространстве опционов эти дефекты могут проявиться в ценах вне границ или в нарушении монотонности по страйку и выпуклости бабочки

Нормировка исправляет только общую массу; она сама по себе не восстанавливает положительность, форвардное среднее или каждое условие отсутствия арбитража

До интерпретации коэффициентов укажите опорный закон, стандартизацию, сохраненный асимптотический порядок, соглашение о кумулянтах и диапазон страйков

Проверьте положительность и нормировку плотности, восстановите дисконтированный форвард и протестируйте монотонность и выпуклость цен коллов на более широкой сетке

Сравните результат вне выборки с моделью положительной плотности или прямой интерполяцией опционов, особенно перед экстраполяцией за ликвидные страйки