Объяснение биномиальной модели ценообразования опционов

Начнём с цены базового актива S. После одного интервала она становится Su в восходящем состоянии или Sd в нисходящем состоянии, причём u больше d

Опцион выплачивает Cᵤ или C_d в этих состояниях. Позиция в базовом активе плюс наличные может быть выбрана так, чтобы воспроизвести обе выплаты

Поскольку реплицирующий портфель имеет одинаковые выплаты в зависимости от состояния, безарбитражность даёт ему ту же текущую стоимость, что и опциону

Коэффициент хеджирования — это разница выплат, делённая на разницу цен базового актива: дельта = (Cᵤ − C_d) / (Su − Sd)

После выбора дельты оставшаяся выплата в каждом состоянии обеспечивается кредитованием или заимствованием. Дисконтирование этой денежной суммы завершает определение текущей стоимости

Это построение делает экономику наглядной: цена следует из послойного реплицирования по состояниям, а не из предположения о том, какая ветвь более вероятна в реальности

Та же самая стоимость может быть записана как дисконтированное взвешенное среднее двух будущих значений опциона с использованием риск-нейтральной вероятности q

При согласованном носительном элементе q выбирается так, чтобы взвешенное ожидаемое значение базового актива росло по безрисковой или форвардной ставке. Она не обязана соответствовать исторической частоте роста

Для отсутствия арбитража рост несущего базового актива должен находиться между d и u, что обеспечивает попадание q в диапазон от нуля до единицы. Несоответствие сигнализирует о несогласованности входных данных дерева

Повторите одномерное построение на многих интервалах. В рекомбинирующем дереве восходящий шаг, за которым следует нисходящий, приводит к тому же узлу, что и нисходящий, за которым следует восходящий

После n шагов имеется n + 1 конечных ценовых узлов, а не 2ⁿ различных узлов, что делает расчёт практически осуществимым

Выбор Кокса — Росса — Рубинштейна обычно определяет u и d из волатильности и длины шага, с взаимообратными движениями, которые делают дерево рекомбинирующимся

Сначала вычислите контрактную выплату на каждом конечном узле. Затем переместитесь на один шаг назад, принимая дисконтированное риск-нейтральное значение в каждом родительском узле

Продолжайте до корня. Каждое промежуточное число является условной модельной стоимостью, основанной на состояниях, достижимых из данного узла

Дивиденды, ставки, временные структуры и изменяющаяся волатильность требуют согласованного пошагового подхода, а не одной корректировки в конце

На каждом допустимом узле сравнивается значение немедленного исполнения со значением продолжения с дисконтированием. Американская стоимость равна большему из двух значений

Эта простая операция максимума определяет область исполнения и является существенным преимуществом перед базовой замкнутой формой Блэка — Шоулза для европейских опционов

Результаты исполнения остаются зависимыми от модели. Дискретные дивиденды, заимствования, расчёты и временные шаги могут существенно сдвинуть оценочную границу

При подходящих выборах, по мере уменьшения шагов, биномиальная цена может сходиться к соответствующей непрерывно-временной модели, такой как Блэк — Шоулз

Сходимость может колебаться в зависимости от положения страйка относительно узлов. Различные параметризации дерева могут иметь различное смещение и устойчивость

Больше шагов уменьшают дискретизационную ошибку внутри модели, но не исправляют неправильную волатильность, отсутствующие скачки, некорректные дивиденды или нереализуемые рыночные котировки

Проверьте границы безарбитражности, пут-колл паритет для европейских контрактов, монотонность, выпуклость и сходимость при увеличении количества шагов

Используйте замкнутую форму как эталон для европейских значений и независимый метод для американских значений. Проверьте нулевое время, крайние значения базового актива и даты дивидендов

Зафиксируйте конвенцию дерева, носитель, календарь, расписание исполнения и количество шагов. Цена без этих настроек неповторяема