Semivariância Realizada: Como Medir a Volatilidade de Alta e de Baixa

Para retornos logarítmicos intradiários \(r_i\) observados em um intervalo fixo, a variância realizada é a soma dos retornos ao quadrado, \(RV=\sum_i r_i^2\). A operação torna positivos tanto os movimentos de alta quanto os de baixa e dá mais peso a movimentos maiores. A estatística mede a variação acumulada no intervalo, mas não mostra se ela veio de movimentos para cima ou para baixo.

A semivariância realizada preserva o sinal antes de elevar cada retorno ao quadrado. O componente positivo reúne os quadrados dos retornos acima de zero; o negativo reúne os quadrados dos retornos abaixo de zero. Com as mesmas observações e convenção, a soma dos componentes é igual à variância realizada. Um retorno igual a zero não contribui para nenhum deles. Essa igualdade é uma identidade contábil, não prova de que cada lado seja uma fonte causal de risco distinta.

Essa divisão por sinal é útil quando a pergunta de pesquisa envolve variação direcional, como saber se a variação passada dos retornos negativos contém informações diferentes sobre a volatilidade futura da variação dos retornos positivos. Barndorff-Nielsen, Kinnebrock e Shephard introduziram a semivariância realizada como medida de variação de baixa em alta frequência. O artigo de trabalho examina sua relação com a variação quadrática e os saltos negativos.

Para retornos \(r_1,\ldots,r_n\), definimos

\[ RS^+ = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i>0), \qquad RS^- = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i<0), \]

em que \(\mathbf{1}(\cdot)\) vale um quando a condição é verdadeira e zero caso contrário. Assim,

\[ RV = \sum_{i=1}^{n}r_i^2 = RS^+ + RS^-. \]

Alguns estudos usam rótulos ou expoentes diferentes. Por isso, um relatório deve esclarecer qual termo representa retornos positivos e qual representa retornos negativos. A fórmula acima usa retornos não centralizados em torno de zero: ela não subtrai a média da amostra, um retorno-alvo nem a taxa livre de risco. Uma semivariância amostral calculada em relação a uma meta ou à média é outra estatística.

As unidades são as unidades de retorno ao quadrado. Se os retornos estiverem em pontos-base, cada componente estará em bp²; com retornos logarítmicos decimais, o resultado estará em retorno decimal ao quadrado. Converter retornos de porcentagem para pontos-base multiplica por 10.000 o valor numérico da medida ao quadrado. A unidade deve acompanhar o número.

Suponha que uma sessão hipotética tenha seis retornos em pontos-base:

\[ (2,-1,3,-4,0,-2)\;\text{bp}. \]

Os retornos positivos contribuem \(2^2+3^2=13\,\text{bp}^2\). Os negativos contribuem \((-1)^2+(-4)^2+(-2)^2=21\,\text{bp}^2\). O retorno zero não contribui. Portanto, a variância realizada total é

\[ RV=13+21=34\,\text{bp}^2. \]

Neste pequeno exemplo, a participação negativa é \(21/34\), cerca de 61,8%, e a positiva é cerca de 38,2%. São participações em uma soma inventada, não probabilidades de perdas futuras nem estimativas estáveis de assimetria de longo prazo. Seis retornos são muito poucos para fazer inferência. O exemplo serve apenas para conferir as definições e a aritmética.

O guia de volatilidade realizada explica a soma não dividida dos retornos ao quadrado. O guia de bipower variation trata de outra questão: estimar a variação contínua quando podem ocorrer saltos raros. A semivariância direcional e a variação robusta a saltos podem ser estudadas em conjunto, mas uma não substitui a outra.

Se o logaritmo do preço latente segue uma semimartingale contínua e a amostragem fica progressivamente mais frequente sob as condições regulares pertinentes, as semivariâncias dos retornos positivos e negativos convergem, cada uma, para metade da variação quadrática contínua. Nesse cenário, os totais amostrais por sinal ainda podem diferir mesmo que a variação contínua subjacente não tenha uma separação direcional persistente; a aleatoriedade da amostragem também importa.

Quando há saltos, o quadrado do tamanho de cada salto é atribuído ao componente positivo ou negativo conforme o sinal. Isso preserva uma informação descartada pela variância realizada total, mas não significa que todo retorno negativo seja um salto ou que todo retorno positivo seja inofensivo. Um grande movimento contínuo e um salto podem gerar um retorno ao quadrado elevado. O sinal classifica a variação observada, não sua causa econômica.

A figura conceitual abaixo separa incrementos positivos e negativos em dois grupos visuais. Ela não é um gráfico de dados, um resultado de teste nem uma alegação de que o processo subjacente tenha um viés direcional persistente.

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: positive and negative return increments feed separate collections of squared-magnitude tiles, while their combined area echoes total realized variation. No measured data or market direction is implied. -->

As semivariâncias realizadas podem entrar como preditores separados em um modelo de volatilidade futura. No estudo sobre o S&P 500 e ações individuais, Patton e Sheppard relataram que, nas amostras e especificações analisadas, a variação passada dos retornos negativos tinha relação mais forte com a volatilidade futura do que a variação dos retornos positivos. Esse é um resultado empírico daquele desenho, não uma lei universal dos mercados nem uma garantia de que uma nova estratégia terá boa capacidade preditiva.

Para fazer uma afirmação de previsão, especifique o alvo e o horizonte, compare com um referencial adequado e avalie fora da amostra. A diferença entre \(RS^-\) e \(RS^+\) em um único dia é descritiva; ela não comprova poder preditivo. A regressão também pode precisar considerar persistência da volatilidade, horizontes sobrepostos, incerteza dos parâmetros e seleção de dados. Avalie os erros de previsão com uma função de perda compatível com a decisão.

Como extensão multivariada, Bollerslev, Li, Patton e Quaedvlieg desenvolveram semicovariâncias realizadas que decompõem a covariância realizada de acordo com os sinais de pares de retornos de alta frequência. O artigo deles na Econometrica explica por que componentes de sinais iguais e mistos podem conter informações diferentes. A divisão univariada entre positivo e negativo é mais simples e não deve ser apresentada como uma decomposição completa de covariância ou de risco de portfólio.

A expressão “semivariância de baixa” é usada para mais de uma definição. A medida realizada aqui eleva ao quadrado os retornos de alta frequência abaixo de zero. Uma estatística de baixa baseada em meta, por sua vez, usa retornos abaixo de um limite escolhido, muitas vezes uma meta ou um retorno mínimo aceitável. Um cálculo amostral também pode centralizar as observações em torno da média. Essas definições respondem a perguntas diferentes e podem produzir resultados diferentes para a mesma série de retornos.

Nenhuma das duas semivariâncias realizadas é uma medida de Value-at-Risk ou Expected Shortfall. O VaR descreve um quantil de uma distribuição de perdas e de um horizonte especificados; o Expected Shortfall resume as perdas além de um quantil segundo uma convenção declarada. A soma dos retornos intradiários negativos ao quadrado não tem nenhuma dessas interpretações. Tampouco mede completamente o drawdown, que depende da ordem e do caminho dos retornos.

Se um gráfico ou modelo chamar \(RS^-\) de “risco de baixa”, defina o termo logo abaixo: informe se os retornos são medidos em relação a zero ou a uma meta, qual frequência de amostragem foi usada e se o valor é uma estatística de intervalo, uma entrada de previsão ou uma medida de portfólio. O guia de volatilidade GARCH discute a dinâmica da variância condicional; a semivariância realizada fornece uma medida direcional de alta frequência que pode ser considerada como entrada.

A divisão por sinal depende da sequência de retornos observada. Amostrar com maior frequência pode acrescentar oscilação bid-ask, discretização de preços, cotações desatualizadas e efeitos de timestamp. Uma pequena variação de preço registrada pode mudar de sinal quando se altera o proxy de preço ou a grade de amostragem. O ruído de microestrutura pode, portanto, mudar tanto a magnitude ao quadrado quanto o componente que recebe o retorno. A identidade \(RV=RS^++RS^-\) continua válida para a série escolhida, mas não valida o desenho da amostragem.

Para uma comparação robusta, documente o campo de preço, o intervalo de amostragem, os limites da sessão, o tratamento dos retornos zero, as regras para valores atípicos e se os retornos entre ativos foram sincronizados. Confira a sensibilidade a diferentes escolhas defensáveis de amostragem. Se a questão central for identificar saltos ou lidar com ruído, use um estimador ou teste desenvolvido para esse objetivo, em vez de tratar a divisão por sinal como correção. O guia de volatilidade realizada two-scale descreve outra forma de correção de ruído.

A inferência estatística também exige uma distribuição amostral ou um plano de reamostragem adequado. Os componentes positivo e negativo vêm do mesmo caminho e podem ser dependentes. Janelas sobrepostas podem aumentar a dependência. Intervalos de confiança ou comparações de previsão devem refletir essas características; comparar apenas duas estimativas pontuais não testa se seus papéis preditivos são diferentes.

Um relatório claro identifica a série de retornos do ativo ou portfólio, a janela de observação, a definição do retorno, a grade de amostragem e as unidades. Informa as fórmulas de \(RS^+\) e \(RS^-\), confirma que a soma recompõe a variância realizada e explica como zeros e observações ausentes foram tratados. Quando a medida entra em um modelo de previsão, informe também o horizonte, o referencial, o período de avaliação e a função de perda.

Não converta diretamente a semivariância realizada em volatilidade anualizada sem declarar as premissas de agregação. As medidas diárias podem ser somadas ao longo dos dias para formar um total anual descritivo segundo uma convenção escolhida, mas a raiz quadrada não se torna automaticamente um desvio-padrão de baixa com distribuição conhecida. A anualização não corrige preços enviesados, amostragem esparsa ou efeitos de seleção.

O uso principal é a medição disciplinada: preservar a direção de cada retorno observado e manter a ponderação quadrática usada na variação realizada. O resultado pode revelar um padrão que mereça ser testado. Ele não identifica a causa por si só, não mede probabilidades de cauda nem transforma uma assimetria histórica em sinal de negociação.