Value at Risk versus Expected Shortfall Explicados

Para uma perda L com CDF F_L, defina VaR_α(L)=inf{l:F_L(l)≥α}

Um VaR de 10 em um dia, no nível de 99%, significa que o modelo coloca cerca de 1% das perdas de um dia acima de 10, segundo suas convenções

Isso não significa que a perda máxima seja 10, que as perdas ficarão abaixo de 10 em 99 de cada 100 dias consecutivos ou que os excedentes serão pequenos

Uma definição robusta é ES_α(L)=(1−α)^{-1}∫_α^1 VaR_u(L)du para uma perda integrável

Para uma distribuição contínua, isso muitas vezes equivale a E[L|L≥VaR_α], sujeito à convenção de cauda escolhida

Com massas no quantil, uma média condicional simples pode selecionar massa demais, portanto a definição integral trata corretamente a massa fracionária do quantil

Duas carteiras podem ter o mesmo VaR enquanto uma atribui perdas muito maiores além do limite

VaR não é subaditivo para toda distribuição e às vezes pode penalizar a diversificação ou recompensar efeitos concentrados no limite

ES é coerente sob definições e integrabilidade padrão, mas coerência não torna confiável um modelo mal especificado ou um conjunto de dados desatualizado

O VaR histórico é uma estatística de ordem; o ES histórico calcula a média somente das observações além da posição selecionada

Em níveis altos de confiança, o ES usa, portanto, pouquíssimas observações efetivas e pode ter uma incerteza amostral muito maior

Estimativas paramétricas, filtradas, de valores extremos e de Monte Carlo acrescentam premissas de modelo que precisam corresponder ao horizonte, à dependência, à liquidez e ao regime

Testes de VaR podem contar excedentes e avaliar se o momento deles se agrupa mais do que o modelo permite

ES não é avaliado de forma útil somente pela frequência de excedentes; ele pode ser avaliado em conjunto com o VaR por meio de funções de pontuação adequadas ou de diagnósticos de perdas de cauda

Um backtest aprovado só diz que os erros de previsão passados atenderam àquele teste e àquela janela, não que o próximo regime ou uma posição não modelada esteja coberto

Rockafellar–Uryasev usam min_t{t+(1−α)^{-1}E[(L−t)_+]}; seu mínimo é igual ao ES sob a convenção informada

Um t otimizado é um quantil VaR sob condições padrão, o que transforma muitos problemas de ES baseados em cenários em programas convexos

O resultado ainda depende da qualidade dos cenários, das não linearidades da posição, das restrições de transação e de a transformação da perda ser convexa

Declare o sinal da perda, o horizonte, o nível de confiança, o horário da avaliação, a janela de dados, a ponderação, a moeda e o tratamento de preços ausentes ou desatualizados

Reporte VaR e ES com intervalos de incerteza, histórico de excedentes, contribuidores da cauda, cenários de estresse e limites fora do modelo estatístico

Recalcule sob janelas e premissas de dependência alternativas e investigue as mudanças, em vez de tratar um único número como certificado de risco