Medidas de risco coerentes e representação dual: explicação

Considere X como patrimônio líquido ou lucro futuro, de modo que um X maior seja melhor e ρ(X) seja o capital exigido hoje.

Usar perdas em vez de lucros inverte vários sinais. Um número de risco fica incompleto sem a convenção da posição, o horizonte e a unidade de liquidação.

O conjunto de aceitação contém posições com ρ(X) ≤ 0 e oferece uma visão geométrica equivalente da suficiência de capital aceitável.

Se X ≤ Y em todos os estados, a monotonicidade exige ρ(X) ≥ ρ(Y): uma posição dominada não pode ser considerada mais segura.

A invariância à translação de caixa dá ρ(X + m) = ρ(X) - m para um caixa certo m no mesmo numerário e horizonte.

Essa propriedade torna ρ uma exigência de capital, e não uma pontuação sem dimensão, mas as convenções de financiamento e moeda ainda importam.

A subaditividade exige ρ(X + Y) ≤ ρ(X) + ρ(Y).

Combinar mesas não deveria criar mais risco medido que avaliar cada uma isoladamente quando a diversificação é reconhecida de modo consistente.

A desigualdade pode falhar em uma implementação se cenários, horizontes de liquidez ou regras não lineares de encerramento forem diferentes entre posições.

Para λ ≥ 0, a homogeneidade positiva exige ρ(λX) = λρ(X).

Junto da subaditividade, ela dá convexidade, mas supõe que dobrar uma posição dobre o risco sem piorar a liquidez ou o impacto de mercado.

Medidas de risco convexas relaxam a homogeneidade e podem representar custos dependentes do tamanho por meio de uma penalidade na fórmula dual.

Sob condições finitas ou de análise funcional adequadas, ρ(X) = sup_{Q∈𝒬} E_Q[-X].

O conjunto 𝒬 contém medidas de teste ou de estresse; a perda esperada mais adversa da posição determina o capital exigido.

A representação se parece com a dualidade de superhedge, mas o conjunto de cenários admissíveis faz parte da política de risco e precisa ser justificado.

Value at Risk é um quantil e não é subaditivo para todas as distribuições; portanto, em geral não é coerente.

Expected shortfall calcula a média das perdas na cauda selecionada e é coerente sob definições padrão e condições de integrabilidade.

Nível de cauda, tratamento de átomos, interpolação, sinal da perda, horizonte e modelo de dados podem mudar materialmente qualquer uma das estimativas.

Cobertura de cenários, estimativas de probabilidade, dependência, posições desatualizadas, reprecificação não linear e premissas de liquidez determinam o resultado.

Faça backtest das exceções e das perdas de cauda, aplique estresse aos fatores omitidos e compare alocações marginais e componentes com uma reavaliação completa.

Informe o conjunto de aceitação ou a família de cenários dual, a janela de dados, o escalonamento, o nível de confiança e os limites em que o capital deixa de escalar linearmente.