Teoria de valores extremos e o índice de cauda

O raciocínio do teorema central do limite descreve somas normalizadas, enquanto a EVT estuda máximos, mínimos ou excedências acima de um limiar alto

Um modelo que ajusta bem os retornos comuns ainda pode atribuir probabilidades muito erradas a crashes porque o centro contém pouca informação sobre a cauda distante

A EVT restringe as possíveis formas de cauda-limite, mas não torna uma amostra finita extrema o bastante nem remove a não estacionariedade do mercado

Para máximos de blocos M_n, qualquer limite não degenerado normalizado precisa pertencer à família de valores extremos generalizados sob as condições clássicas de domínio de atração

Sua distribuição pode ser escrita como G(z)=exp{−[1+ξ(z−μ)/σ]^(−1/ξ)}, em que o termo entre colchetes é positivo, com um limite Gumbel contínuo quando ξ=0

A localização μ define o nível, a escala σ define a dispersão e a forma ξ determina a classe de cauda-limite

Quando ξ>0, a classe de Fréchet tem uma cauda pesada com lei de potência; ξ=0 dá a classe de Gumbel; ξ<0 dá um limite superior finito na classe de Weibull

Na notação de cauda pesada, o expoente de potência costuma ser α=1/ξ, então “índice de cauda” pode significar ξ ou α conforme o campo

Essa convenção precisa ser declarada porque um ξ maior significa uma cauda mais pesada, enquanto um α maior significa uma cauda de lei de potência mais leve

Estimadores de Hill, Pickands, momentos ponderados por probabilidade e máxima verossimilhança usam partes ou resumos diferentes das maiores observações

Usar poucos extremos produz alta variância; usar muitos inclui observações centrais que podem enviesar a aproximação da cauda

Uma estimativa de índice de cauda sem seus estatísticos de ordem selecionados, regra de limiar, intervalo de incerteza e trajetória de estabilidade é incompleta

Retornos financeiros não são independentes e identicamente distribuídos: regimes de volatilidade podem colocar várias perdas grandes próximas umas das outras

O índice extremal resume o agrupamento sob uma dependência estacionária adequada, com valores abaixo de um indicando menos extremos efetivamente independentes

Filtrar a volatilidade ou separar os agrupamentos pode ajudar, mas ambos acrescentam premissas e podem apagar uma persistência genuína de crise se aplicados mecanicamente

Depois de estimar um modelo de cauda e uma taxa de excedência, quantis altos podem estender o VaR para além da maior perda observada rotineiramente

O Expected Shortfall precisa de uma média de cauda finita; para uma cauda pesada de Pareto generalizada, isso exige ξ<1, e momentos de ordem superior exigem restrições ainda mais fortes

A incerteza da extrapolação cresce rapidamente com a distância do limiar, então relatar mais casas decimais não cria mais informação

Inspecione gráficos de média excedente, estabilidade de parâmetros, quantis, probabilidade e nível de retorno em vários limiares ou tamanhos de bloco plausíveis

Repita as estimativas em janelas, filtros, regras de agrupamento, estimadores e exclusões de crise diferentes, mantendo uma trilha de auditoria de cada escolha

Use EVT junto com análise de cenários e testes de estresse estruturais, porque mecanismos sem precedentes não precisam se parecer com uma versão ampliada de extremos históricos