Meia-vida de Ornstein–Uhlenbeck: reversão à média no trading

Suponha que um spread esteja acima de sua média estimada de longo prazo. Um modelo de reversão à média diz que, em expectativa, o spread tende a voltar em direção a essa média ao longo do tempo. A meia-vida responde a uma pergunta específica: segundo o modelo ajustado, quanto tempo leva para o desvio esperado cair pela metade? Se o desvio inicial for de 100 pontos-base, uma meia-vida de quatro períodos significa que, após quatro períodos, o desvio esperado condicional do modelo será de cerca de 50 pontos-base.

Essa afirmação diz respeito a uma expectativa calculada sobre trajetórias possíveis. Um spread realizado pode primeiro subir, cruzar a média rapidamente ou permanecer distante por muito mais tempo. A meia-vida também depende da unidade de observação: uma estimativa com dados diários é medida em dias, enquanto uma estimativa com dados por hora é medida em horas. Informe sempre o intervalo de amostragem e o modelo usado para estimar a velocidade.

Um processo OU de um fator pode ser escrito como

\[ dX_t = \kappa(\mu-X_t)\,dt + \sigma\,dW_t, \]

em que \(\mu\) é a média de longo prazo, \(\kappa>0\) é a velocidade de reversão à média, \(\sigma\) controla a intensidade da variação aleatória instantânea e \(W_t\) é um movimento browniano. O drift aponta para \(\mu\): acima da média, sua direção condicional é para baixo; abaixo dela, é para cima.

O desvio esperado condicional segue

\[ \mathbb{E}[X_{t+\tau}-\mu\mid X_t] = e^{-\kappa\tau}(X_t-\mu). \]

Iguale o multiplicador a um meio, \(e^{-\kappa h}=1/2\), e resolva para o tempo decorrido:

\[ h_{1/2}=\frac{\ln 2}{\kappa}. \]

A meia-vida não inclui \(\sigma\). A volatilidade afeta o quanto cada trajetória oscila em torno da expectativa condicional, enquanto \(\kappa\) determina a taxa esperada de decaimento neste modelo. A análise do movimento browniano de Uhlenbeck e Ornstein fornece a base clássica do processo estocástico; depois, Vasicek usou um processo do tipo OU para modelar a taxa de juros de curto prazo.

Com observações igualmente espaçadas por um intervalo \(\Delta\), uma amostra exata do processo OU tem a forma

\[ X_{t+\Delta}-\mu = \phi(X_t-\mu)+\eta_{t+\Delta}, \qquad \phi=e^{-\kappa\Delta}. \]

No modelo OU escalar, se \(\kappa>0\), então \(0<\phi<1\). A meia-vida discreta, medida em número de observações, é

\[ h_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln(\phi)}, \]

e o tempo decorrido é esse valor multiplicado por \(\Delta\). Se o coeficiente AR(1) estimado for zero ou negativo, ou for igual ou superior a um, essa conversão simples para uma velocidade positiva de reversão OU não se aplica. Pode ser necessário outro modelo dinâmico, em vez de forçar uma interpretação OU.

A mesma equação pode ser estimada na forma em diferenças, \(\Delta X_t=a+bX_{t-1}+\epsilon_t\). Para um AR(1) estacionário que também satisfaça \(0<1+b<1\), defina \(\phi=1+b\), \(\kappa=-\ln(\phi)/\Delta\), e a média de longo prazo implícita será \(-a/b\) quando \(b\ne0\). Mantenha o intervalo de amostragem na conversão: mudar de dados diários para semanais altera a escala de tempo do coeficiente.

A unidade de tempo é definida por \(\Delta\). Em uma série diária de ações, uma etapa de observação normalmente corresponde a uma sessão de negociação, não a 24 horas corridas. Por isso, uma meia-vida de quatro observações não deve ser descrita automaticamente como quatro dias de calendário se houver um fim de semana ou feriado de mercado no intervalo. Se os candles tiverem durações irregulares, como em amostragens por evento ou volume, a conversão com intervalo constante pode não se aplicar. Informe o ativo, o cronograma de amostragem e se a unidade relatada é uma observação, uma sessão de negociação ou o tempo efetivamente decorrido.

Suponha que um modelo de spread diário estime \(\phi=0.84\) a partir de observações diárias igualmente espaçadas. Este é um valor hipotético para fins didáticos, não uma estimativa atual. A velocidade diária de reversão à média é \(\kappa=-\ln(0.84)\approx0.1744\), portanto

\[ h_{1/2}=\frac{\ln(0.5)}{\ln(0.84)}\approx3.98\text{ dias de negociação}. \]

Após quatro dias, o desvio esperado é \(0.84^4\approx0.498\) do tamanho inicial. Assim, um desvio de 100 pontos-base teria expectativa condicional implícita no modelo de cerca de 49.8 pontos-base após quatro observações, antes de considerar a incerteza da estimação ou mudanças no processo.

A figura abaixo ilustra esse decaimento exponencial em torno de um equilíbrio. A curva é conceitual, não representa um histórico de preços nem afirma que todo spread siga esse caminho. Resultados individuais podem oscilar bastante em torno da média condicional.

Comece definindo \(X_t\). Um resíduo de cointegração, uma diferença de preços, um spread de log-preços, um sinal ajustado pela volatilidade e um spread de taxas são séries diferentes. Suas unidades e dinâmicas também diferem. Um resultado de cointegração pode sustentar uma combinação linear estacionária sob suas hipóteses, mas não demonstra que o resíduo seja um processo OU com parâmetros constantes.

Escolha a frequência de amostragem, a janela de formação, a especificação da média e a estrutura de defasagens antes de estimar. Um AR(1) simples pode ocultar autocorrelação, volatilidade variável, saltos, microestrutura intradiária ou mudanças de regime. Verifique o comportamento dos resíduos e a estabilidade dos parâmetros, e informe se a estimativa depende de uma amostra específica. A comparação empírica de Chan, Karolyi, Longstaff e Sanders mostra por que as evidências de reversão à média podem ser fracas e depender do modelo, até mesmo para taxas de juros de curto prazo.

Para um spread de negociação, estime os parâmetros usando apenas os dados disponíveis em cada data de formação. Reestimar o spread ou sua média com observações futuras causa viés de antecipação. Se o modelo for recalibrado ao longo do tempo, descreva o cronograma de atualização e avalie todo o procedimento em dados posteriores, em vez de tratar o coeficiente estimado como conhecido.

A transformação de \(\phi\) em meia-vida não é linear. Quando \(\phi\) se aproxima de um por baixo, \(\ln(\phi)\) se aproxima de zero e a meia-vida implícita cresce rapidamente. Uma pequena mudança no coeficiente estimado pode, portanto, alterar muito o tempo relatado. Por exemplo, as estimativas hipotéticas \(\phi=0.80\), \(0.84\) e \(0.88\) implicam cerca de 3.11, 3.98 e 5.42 observações por meia-vida, respectivamente.

Informe a incerteza da velocidade ou da meia-vida transformada usando um método inferencial adequado ao estimador e à amostra. Se um intervalo de confiança de \(\phi\) chegar a um ou ultrapassá-lo, esse intervalo talvez não sustente uma meia-vida OU estacionária, positiva e finita. Não apresente apenas uma estimativa pontual e, se escolher a série aparentemente mais rápida entre muitas, considere o efeito da seleção. Perto de uma raiz unitária, o erro de estimação pode superar a precisão aparente de um único número de meia-vida.

Para dimensionar a incerteza, suponha um intervalo hipotético de 95% para o coeficiente estimado na amostra igual a \([0.78,0.92]\). Dentro da faixa estacionária OU, a meia-vida transformada aumenta com \(\phi\), então esse intervalo corresponde a cerca de 2.79–8.31 observações, embora a estimativa pontual \(0.84\) dê 3.98. É uma ilustração, não um resultado empírico. Se o intervalo do coeficiente tocar um, o limite superior da meia-vida poderá ser ilimitado; valores iguais ou superiores a um estão fora dessa conversão estacionária. Não corte esses valores para fabricar um intervalo finito. O método de incerteza também deve refletir a dependência serial e qualquer construção estimada do spread; uma busca entre muitos pares ou janelas deve levar em conta a seleção.

Para dimensionar a incerteza, suponha um intervalo de 95% hipotético para o coeficiente amostrado igual a \([0.78,0.92]\). Dentro da faixa estacionária OU, a meia-vida transformada aumenta com \(\phi\), então o intervalo corresponde a cerca de 2.79–8.31 observações, embora a estimativa pontual \(0.84\) resulte em 3.98. Esse intervalo é ilustrativo, não um resultado empírico. Se o intervalo do coeficiente tocar um, o limite superior da meia-vida poderá ser ilimitado; valores iguais ou superiores a um estão fora dessa conversão estacionária. Não corte esses valores para fabricar um intervalo finito. O método de incerteza também deve refletir a dependência serial e qualquer construção estimada do spread; uma busca entre muitos pares ou janelas precisa levar em conta a seleção.

A meia-vida acompanha o tamanho esperado condicional de um desvio. O tempo de cruzamento pergunta quando uma trajetória aleatória atinge pela primeira vez um nível, como a média estimada ou um limite de saída. A distribuição do primeiro tempo de passagem depende tanto do drift quanto da volatilidade e pode ser bastante dispersa. A análise de arbitragem estatística ótima de William Bertram trata a duração das operações e o retorno por meio de cálculos de primeiro tempo de passagem, um objeto distinto da fórmula da meia-vida exponencial.

Um sistema de trading ainda precisa de regras explícitas de entrada e saída, dimensionamento de posição, limites de risco e uma resposta para o rompimento da relação. O spread pode se afastar ainda mais da média antes de voltar e talvez não retorne dentro do horizonte relevante. O cálculo do decaimento esperado não fornece um nível de stop, a probabilidade de atingir uma meta de lucro antes de um stop nem uma estimativa de retornos após custos.

Em uma operação de pares, o objeto modelado costuma ser um spread construído, não cada ativo isoladamente. A razão de hedge, a moeda, os ajustes por eventos corporativos, o financiamento, a disponibilidade de empréstimo e a política de rebalanceamento afetam a posição realizada. Teste se a relação de longo prazo do spread continua plausível em janelas cronológicas de validação; uma meia-vida estimada curta não corrige uma quebra estrutural.

Inclua spread entre compra e venda, impacto de mercado, taxas, custos de funding ou empréstimo e o tempo necessário para executar as duas pontas. Esses custos se acumulam ao longo do caminho realizado, não apenas durante a meia-vida esperada. A seleção entre muitos pares, janelas retrospectivas e frequências de amostragem também pode fazer uma estimativa curta por acaso parecer mais confiável do que é. Os resultados empíricos de Chan e coautores para modelos de juros lembram que uma forma conhecida de reversão à média não garante evidências fortes em um conjunto específico de dados.

A estrutura OU pode organizar uma hipótese sobre a dinâmica esperada de um spread. Saber se uma regra de trading funciona é outra questão empírica, que depende de estabilidade, incerteza, execução e resultados fora da amostra.

Declare a definição da série, a convenção de preço ou retorno, o intervalo de amostragem, a janela da amostra, a média estimada e os parâmetros de velocidade e volatilidade. Informe se a equação OU está especificada em tempo contínuo ou foi inferida de um modelo AR discreto. Apresente a estimativa do coeficiente e sua incerteza, explique a transformação para meia-vida e mostre a sensibilidade a uma janela ou intervalo de amostragem alternativo razoável.

Em uma aplicação de trading, descreva também como o spread foi formado, como os parâmetros são atualizados, quais informações estão disponíveis a cada decisão e como custos de transação e falhas de convergência são tratados. Apresente a meia-vida como um resumo, implícito no modelo, do decaimento esperado, com sua incerteza e unidades. Não a use isoladamente como justificativa para entrada, saída ou rentabilidade.

O artigo de 1930 de Uhlenbeck e Ornstein sobre movimento browniano desenvolve o processo estocástico de reversão à média subjacente. O modelo de estrutura a termo de Vasicek90016-2) usa um processo de curto prazo do tipo OU. Chan, Karolyi, Longstaff e Sanders comparam especificações de taxas de curto prazo em tempo contínuo e mostram que as evidências e o ajuste dependem da escolha do modelo. Bertram deriva resultados de arbitragem estatística ótima usando tempos de primeiro tempo de passagem, ilustrando que a duração de uma operação é uma medida distinta. Outros guias explicam [cointegração e correlação no pairs trading](/pt-BR/learn/cointegration-vs-correlation-pairs-trading-explained), [raízes unitárias e reversão à média](/pt-BR/learn/stationarity-unit-root-mean-reversion-finance-explained) e o [teste de cointegração de Engle–Granger](/pt-BR/learn/engle-granger-cointegration-test-error-correction-explained).