Teorema fundamental da precificação de ativos explicado

Uma arbitragem começa sem investimento líquido, não pode gerar perda sob o modelo e tem payoff positivo em pelo menos um estado relevante

Um índice de Sharpe alto, uma vantagem estatística ou uma opção com aparência barata não é automaticamente uma arbitragem, porque a perda continua possível

O teorema começa exatamente com essa condição no nível do modelo. Mudar estratégias admissíveis, regras de financiamento ou restrições pode mudar a existência de uma arbitragem

Em um mercado finito de um período, atribua um peso não negativo de valor presente a cada estado futuro. Qualquer payoff replicado é precificado somando o produto do payoff pelo peso do estado

Se pesos estritamente positivos satisfazem todos os preços negociados, uma carteira de custo zero não pode produzir um payoff não negativo com ganho em algum estado

Normalizar esses pesos pela conta do mercado monetário produz probabilidades. Essa etapa converte um funcional de precificação em uma medida martingal

Uma medida equivalente atribui probabilidade zero exatamente aos mesmos eventos que a medida física. Ela muda os pesos relativos sem inventar ou eliminar estados possíveis

Essa distinção importa porque um payoff positivo apenas em um estado declarado impossível não pode sustentar o mesmo argumento de arbitragem

Os novos pesos são instrumentos de avaliação, não afirmações de que os investidores realmente acreditem nas probabilidades redistribuídas

Em modelos finitos padrão, a ausência de arbitragem é equivalente à existência de uma medida equivalente que torne martingais os preços descontados dos ativos negociáveis

Em mercados gerais de tempo contínuo, a condição precisa de ausência de oportunidade gratuita e as hipóteses técnicas importam. Versões informais do teorema podem ser fracas demais

A mensagem econômica permanece: preços consistentes podem ser representados como valores descontados condicionais sob uma medida de precificação adequada

Um mercado é completo quando todo payoff contingente admissível pode ser gerado negociando os ativos disponíveis sob o modelo

A completude corresponde à unicidade da medida martingal equivalente em contextos padrão. Uma medida então fornece um único valor sem arbitragem para cada reivindicação

Se várias medidas se ajustam aos ativos negociados, reivindicações não alcançáveis podem ter uma faixa de preços sem arbitragem, a menos que seja adicionada uma preferência, calibração ou critério extra

Um modelo binomial de uma ação e um título tem dois estados futuros e geralmente consegue replicar qualquer payoff de dois estados, então sua probabilidade neutra ao risco é única

A difusão ideal de Black–Scholes usa negociação contínua para abranger sua única fonte de risco browniana, produzindo o conhecido preço de replicação

Adicionar volatilidade não negociada, saltos, custos de transação ou restrições de negociação pode eliminar a completude exata mesmo quando preços úteis do modelo permanecem

A ausência de arbitragem restringe preços relativos; ela não identifica retornos esperados, frequências de eventos ou qual modelo calibrado é economicamente melhor

Dois modelos podem ajustar os preços atuais e ainda implicar dinâmicas diferentes fora dos strikes observados, dos vencimentos ou das regras futuras de recalibração

Use o teorema para separar consistência de previsão. Uma medida de precificação válida pode reprecificar instrumentos sem ser uma previsão física confiável

Especifique ativos negociados, numerário, informação, estratégias admissíveis, financiamento, garantias, custos e quais riscos podem de fato ser protegidos

Teste se os preços propostos violam limites estáticos e se a replicação alegada sobrevive à negociação discreta, à liquidez e à incerteza dos parâmetros

O teorema é uma base para o desenho do modelo, não uma prova de que uma mesa consegue executar um hedge ideal ou de que toda cotação observada é livre de arbitragem