Fórmula de Feynman–Kac para precificação de opções explicada
Aprenda como Feynman–Kac conecta PDEs lineares de precificação a esperanças condicionais descontadas, incluindo geradores, fluxos de caixa, métodos numéricos e limites
Resposta direta
A fórmula de Feynman–Kac representa a solução adequada de uma PDE parabólica linear como uma esperança condicional ao longo de trajetórias de difusão. Em finanças, ela transforma uma equação de precificação em fluxos de caixa terminais e correntes esperados e descontados
O gerador da difusão define a evolução local
Seja dX_s = b(s,X_s)ds + σ(s,X_s)dW_s, e defina seu gerador Lφ = b∂_xφ + 1/2σ²∂_{xx}φ
O gerador resume a mudança condicional infinitesimal de funções suaves do estado
Ele conecta o modelo de trajetória a uma equação diferencial sem afirmar que a própria trajetória, que não é diferenciável em nenhum ponto, tenha uma derivada comum
Uma PDE para trás começa pela condição terminal
Considere ∂_t u + Lu - r u + f = 0 com valor terminal u(T,x) = g(x)
Aqui g é um payoff terminal, r é uma taxa de eliminação ou desconto e f é uma fonte corrente cujo sinal segue a convenção de PDE declarada
Como os dados terminais são conhecidos em T, a avaliação trabalha para trás embora a difusão do estado evolua para frente
A esperança condicional fornece a representação
Sob condições de regularidade e integrabilidade, u(t,x) é igual à esperança condicional de g(X_T) descontado mais o f acumulado descontado
Com D_{t,s} = exp(-∫_t^s r(v,X_v)dv), a representação é E[D_{t,T}g(X_T) + ∫_t^T D_{t,s}f(s,X_s)ds | X_t=x]
Aplicar a fórmula de Itô a D_{t,s}u(s,X_s) faz seu drift ser igual ao negativo do termo-fonte, o que produz a identidade depois de tomar as esperanças
O desconto faz parte do operador
Uma taxa curta constante dá o fator conhecido e^{-r(T-t)}, mas taxas dependentes do estado exigem uma integral de caminho
Dividendos, cupons, custos ou termos-fonte correntes entram pela integral temporal, em vez de ficarem escondidos no payoff terminal
Mudar os sinais na PDE muda a representação, então copie o operador, a condição terminal e a direção do tempo como um único pacote
A precificação neutra ao risco é um caso especial
Sob uma medida de precificação válida, a dinâmica descontada do ativo negociado determina L e o valor do derivativo resolve a PDE de precificação associada
Para um direito europeu sem pagamentos correntes, o preço é a esperança condicional do payoff terminal descontado
Black–Scholes é uma instância dessa ponte, não a definição de Feynman–Kac nem evidência de que todo mercado seja completo
PDE e Monte Carlo buscam o mesmo valor
Diferenças finitas resolvem a equação para trás em uma grade, enquanto Monte Carlo estima a esperança ao longo de trajetórias para frente
A concordância entre implementações independentes é uma verificação poderosa de sinais, desconto, condições de fronteira e erro de amostragem
Escolha métodos de PDE para superfícies e fronteiras de baixa dimensão; escolha simulação quando estados ou funcionais de caminho tornam as grades caras
O teorema tem condições e fronteiras
Afirmações clássicas exigem condições sobre coeficientes, crescimento, regularidade, integrabilidade e unicidade; versões mais fracas de viscosidade ampliam o escopo
Exercício americano cria um obstáculo ou desigualdade variacional, e problemas não lineares de financiamento ou controle não se encaixam na fórmula linear simples
Saltos substituem a PDE de difusão por uma equação integro-diferencial, enquanto a dependência do caminho frequentemente exige ampliar o estado ou usar outros métodos
Perguntas frequentes
O que a fórmula de Feynman–Kac diz em termos simples?
Ela diz que um valor definido por certa equação diferencial pode ser calculado fazendo a média de resultados descontados de um processo aleatório relacionado
Por que a PDE de precificação é resolvida para trás?
O payoff é especificado no vencimento, então o valor terminal é conhecido e o valor atual é propagado de volta em direção a hoje
Feynman–Kac é a mesma coisa que precificação neutra ao risco?
Não. A modelagem neutra ao risco fornece uma medida de precificação e um gerador; Feynman–Kac então conecta sua PDE linear e sua esperança
A fórmula padrão precifica opções americanas?
Não diretamente. O exercício antecipado transforma a igualdade em um problema de obstáculo ou em uma representação de parada ótima