Transformada de Esscher na precificação de opções explicada
Entenda a inclinação exponencial, os deslocamentos de cumulantes, as mudanças na medida de Lévy, a escolha do parâmetro de martingalidade, mercados incompletos e verificações de existência
Resposta direta
A transformada de Esscher pondera o resultado x por e^{θx} e normaliza usando sua função geradora de momentos. Em modelos exponenciais de ativos, θ pode ser escolhido para que o preço descontado seja uma martingala sob a medida inclinada
A inclinação exponencial repondera os resultados
Para uma variável aleatória X com M(θ) = E[e^{θX}] finita, defina dQ_θ/dP = e^{θX}/M(θ)
Um θ positivo dá mais peso a resultados maiores e um θ negativo dá mais peso a resultados menores, enquanto a normalização faz os novos pesos somarem um
A transformada muda as probabilidades, não os resultados observados, e só existe onde o momento exponencial é finito
A função de cumulantes se desloca de forma simples
Seja κ(u) = log E[e^{uX}] no domínio de momentos
Sob a medida de Esscher, o cumulante é κ_θ(u) = κ(u+θ) - κ(θ)
As derivadas de κ_θ em zero fornecem momentos inclinados quando finitas, tornando a transformada conveniente para métodos de ponto de sela e cálculos de risco
Um processo precisa de uma densidade consistente no tempo
Para um processo de Lévy X_t, o processo de densidade é Z_t = exp(θX_t - tκ(θ))
Incrementos independentes e estacionários tornam Z uma martingala positiva quando θ está no domínio de momentos válido
Sob Q_θ o processo continua sendo de Lévy, mas seu drift e sua lei de saltos mudam, enquanto os resultados das trajetórias e os eventos nulos permanecem compatíveis
A medida de Lévy é inclinada exponencialmente
Sob convenções apropriadas, a medida de saltos muda de ν(dx) para ν_θ(dx) = e^{θx}ν(dx)
A variância browniana permanece inalterada, enquanto o drift se ajusta à inclinação browniana, à compensação dos saltos e à convenção de truncamento
Comparar parâmetros de drift sem declarar a função de truncamento pode, portanto, criar uma discrepância falsa
Uma condição de martingalidade seleciona o parâmetro de precificação
Para S_t = S_0e^{X_t} com carry r-q, a propriedade de martingalidade descontada exige κ_θ(1) = r-q
De forma equivalente, resolva κ(θ+1) - κ(θ) = r-q quando ambos os momentos exponenciais existirem
A equação pode não ter solução, ter uma solução ou apresentar instabilidade numérica perto da fronteira do momento; a escolha do parâmetro não é automática
Esscher é uma escolha em um mercado incompleto
O risco de saltos geralmente não é totalmente replicado, então muitas medidas martingais equivalentes podem satisfazer a ausência de arbitragem
A regra de Esscher seleciona uma delas ao preservar uma família de modelos inclinada exponencialmente, mas a ausência de arbitragem, sozinha, não lhe dá preferência sobre todas as alternativas
Preferências econômicas, objetivos de calibração, critérios de entropia, objetivos de hedge ou convenções de mercado podem implicar uma medida diferente
A validação precisa incluir as caudas
Verifique o domínio de momentos para θ e θ+1, a normalização da densidade, o suporte equivalente, a igualdade de martingalidade e o triplo transformado
Recalibre entre vencimentos e regimes, porque um θ estável dentro da amostra pode esconder uma extrapolação instável de cauda
Compare preços de opções e erros de hedge sob medidas admissíveis alternativas para expor o custo de risco de modelo da escolha de Esscher
Perguntas frequentes
O que é a transformada de Esscher em termos simples?
Ela cria uma nova lei de probabilidade dando exponencialmente mais peso a resultados maiores ou menores e depois renormalizando
Como o parâmetro de Esscher é escolhido para precificar opções?
Ele costuma ser escolhido para que o preço modelado do ativo descontado se torne uma martingala sob a medida transformada
Uma transformada de Esscher sempre existe?
Não. Os momentos exponenciais necessários precisam ser finitos, e a equação de martingalidade pode não ter uma solução admissível
A medida martingal de Esscher é única?
Seu parâmetro pode ser único dentro da família de Esscher, enquanto outras medidas martingais equivalentes ainda podem existir