Stochastyczny czynnik dyskontowy — wyjaśnienie

Dla jednookresowej wypłaty X bieżąca cena P spełnia P = E[mX] względem fizycznej miary prawdopodobieństwa

To samo m musi wyceniać każdy składnik aktywów uwzględniony w modelu. To wspólne ograniczenie sprawia, że pojęcie jest użyteczne do porównywania papierów wartościowych

Jednostki i momenty mają znaczenie: m zamienia jedną jednostkę przyszłej wypłaty na wartość bieżącą stan po stanie, a nie za pomocą jednej stałej stopy dyskontowej

W modelu reprezentatywnego konsumenta m jest proporcjonalne do zdyskontowanej przyszłej użyteczności krańcowej podzielonej przez bieżącą użyteczność krańcową

Gdy konsumpcja jest ograniczona, a użyteczność krańcowa wysoka, wypłata jest szczególnie cenna, więc m jest w tym stanie wysokie

Ta interpretacja zależy od preferencji, konsumpcji i założeń równowagi. Samo równanie wyceny można stosować bez przyjmowania konkretnego modelu użyteczności

Dla stopy zwrotu R warunek wyceny ma postać E[mR] = 1. Po rozwinięciu otrzymujemy E[m]E[R] + Cov(m,R) = 1

Aktywo, które przynosi słabe wyniki, gdy m jest wysokie, zapewnia niewiele ubezpieczenia i zwykle musi oferować wyższą oczekiwaną stopę zwrotu, aby inwestorzy chcieli je posiadać

Aktywo, które wypłaca w złych stanach, może osiągać wyższą cenę i niższą oczekiwaną stopę zwrotu, ponieważ jego wypłata kowariuje dodatnio z m

Dla znanej stopy zwrotu brutto wolnej od ryzyka R_f mamy E[m]R_f = 1, a więc E[m] = 1/R_f w ujęciu jednookresowym

Średnia odpowiada za zwykłe dyskontowanie w czasie, natomiast zmienność m między stanami generuje korekty z tytułu ryzyka

Deterministyczne m wyceniałoby w tym modelu wyłącznie za pomocą czasu i nie implikowałoby premii za ryzyko opartej na kowariancji

W stanach dyskretnych o prawdopodobieństwach fizycznych p_s cena stanu q_s jest równa p_s pomnożonemu przez czynnik dyskontowy m_s dla tego stanu

Normalizacja cen stanów przez cenę obligacji daje prawdopodobieństwa neutralne względem ryzyka. SDF, ceny stanów i miara wyceny kodują tę samą funkcję wyceny w różny sposób

Ich interpretacje są różne: p_s jest wejściem opisującym częstość fizyczną, q_s jest wagą wartości bieżącej, a znormalizowane q_s jest prawdopodobieństwem wyceny

Jeśli wypłaty będące przedmiotem obrotu nie rozpinają każdego stanu, kilka dodatnich stochastycznych czynników dyskontowych może wyceniać te same obserwowane aktywa

Dodatkowy model lub kryterium wybiera jedno jądro dla wypłat nierozpinanych, tak jak wybiera jedną miarę martyngałową

Szacowane m może być również ujemne w nieskrępowanych metodach statystycznych, co narusza warunek dodatniego jądra potrzebny do silnych interpretacji braku arbitrażu

Modele kandydujące implikują E[mR_i] = 1 dla każdej testowanej stopy zwrotu. Analogii z próby używa się do ujawniania błędów wyceny, ale zawierają one niepewność estymacji i danych

Ograniczenie Hansena–Jagannathana łączy zmienność dowolnego poprawnego m z osiągalnymi współczynnikami Sharpe'a, ograniczając zbyt gładkie jądra oparte na konsumpcji

Przed oceną modelu należy podać zbiór aktywów, horyzont, informację warunkującą, konwencję stopy zwrotu, błąd próbkowania oraz informację, czy m pozostaje dodatnie