Novikov §0¤ K§1¤z§2¤m§3¤ki C§6¤diti§7¤s Expl§4¤§5¤ed

Dla ciągłego lokalnego martyngału M jego eksponenta stochastyczna wynosi Z_t = exp(M_t - ½⟨M⟩_t)

Z jest dodatnim lokalnym martyngałem, a zatem supermartyngałem, więc E[Z_t] może spaść poniżej początkowej wartości równej jeden

Jeśli masa zostanie utracona, Z_T nie może służyć jako gęstość prawdopodobieństwa bez zmiany zamierzonej konstrukcji

Gęstość dla skończonego horyzontu wymaga Z_T ≥ 0 i E[Z_T] = 1, a proces gęstości jest dany przez wartości oczekiwane warunkowe

Jednostajna całkowalność kontroluje rodzinę na całym horyzoncie i wspiera spójne zmiany miary w czasach stopu

Zapisanie wyrażenia eksponencjalnego nie dowodzi, że normalizuje się ono do jedności ani że definiuje miarę równoważną

Częsty warunek Novikova ma postać E[exp(½⟨M⟩_T)] < ∞ dla ustalonego skończonego horyzontu T

Dla M = ∫θ_s dW_s nawias wynosi ∫₀ᵀθ_s²ds, więc test wymaga eksponencjalnej całkowalności skumulowanego kwadratowego przesunięcia dryfu

Kryterium jest wygodne, ponieważ używa wariacji kwadratowej, ale może być silniejsze, niż jest to konieczne

Kryteria typu Kazamakiego kontrolują exp(M/2), zwykle przez warunek submartyngałowy lub warunek jednostajnej całkowalności dla czasów stopu

Mogą ustalić własność prawdziwego martyngału w przypadkach, w których eksponencjalny moment nawiasu wymagany przez Novikova jest nieskończony

Dokładne twierdzenia różnią się zależnie od horyzontu i wersji twierdzenia, dlatego należy jawnie podać cytowane kryterium i konwencję znaku

Oba warunki są testami wystarczającymi, a nie definicjami i zasadniczo nie są warunkami koniecznymi

Jeśli Novikov zawodzi, nadal mogą zadziałać Kazamaki, ograniczona oscylacja średnia, bezpośrednie obliczenia wartości oczekiwanej lub argumenty specyficzne dla modelu

Jeśli zawodzi każdy wygodny test, nie można po prostu założyć martyngałowości; nadal możliwe jest zachowanie ścisłego lokalnego martyngała

Zmiany dryfu Girsanova i gęstości neutralne względem ryzyka często używają eksponenty stochastycznej zbudowanej z ceny ryzyka rynkowego

Jeśli gęstość jest ścisłym lokalnym martyngałem zamiast prawdziwym martyngałem, proponowana miara wyceny może być wadliwa lub niespójna między horyzontami

Problem ten pojawia się również w estymatorach ilorazu wiarygodności, filtracji, dualności użyteczności i modelach o zachowaniu podobnym do bańki

Warunek ważny dla każdego skończonego T nie musi zapewniać jednostajnej całkowalności na nieskończonym horyzoncie

Lokalizacja dowodzi tożsamości lokalnych, ale sama nie przywraca brakującej wartości oczekiwanej przy przechodzeniu do granic

Eksponenty skokowe wymagają kryteriów uwzględniających skoki, dodatniość i całkowalność; ciągłego wzoru Novikova nie należy kopiować bez zmian