Zasada maksymalnej entropii w finansach
Poznaj maksymalizację entropii przy ograniczeniach na momenty i ceny opcji, jej dualność z rodziną wykładniczą, rolę miary referencyjnej oraz kontrole potrzebne dla rozkładu implikowanego
Bezpośrednia odpowiedź
Zasada maksymalnej entropii wybiera rozkład prawdopodobieństwa o największej entropii spośród tych, które spełniają określone ograniczenia. W finansach może wywnioskować gładki rozkład neutralny względem ryzyka z momentów lub cen opcji, ale „najmniej informacyjny” ma znaczenie wyłącznie względem wybranego nośnika, zmiennych, miary referencyjnej i ograniczeń
Entropia porządkuje rozkłady dopuszczalne
Dla prawdopodobieństw dyskretnych p_i entropia Shannona wynosi H(p)=−Σ_i p_i log p_i
Maksymalna entropia maksymalizuje H przy p_i≥0, Σ_i p_i=1, oraz ograniczeniach takich jak Σ_i p_i f_j(x_i)=c_j
Wynik nie dodaje żadnej dopasowanej struktury poza tym, co wymuszają nośnik, reprezentacja bazowa i zadeklarowane ograniczenia
Rozwiązanie często ma postać wykładniczą
Przy mierze referencyjnej m i liniowych ograniczeniach oczekiwanych rozwiązanie często ma postać p_θ(x)=m(x)exp[Σ_jθ_jf_j(x)−ψ(θ)]
Logarytm normalizujący ψ zapewnia, że całkowite prawdopodobieństwo wynosi jeden, a jego gradient dopasowuje wartości oczekiwane modelu do ograniczeń
Hessian ψ jest macierzą kowariancji, łącząc krzywiznę dualną z identyfikowalnością i uwarunkowaniem numerycznym
Entropia ciągła potrzebuje miary referencyjnej
Entropia różniczkowa zmienia się przy nieliniowej zmianie współrzędnych i nie jest niezmienną ilością brakującej informacji
Minimalizacja entropii względnej KL(p||m) względem jawnego rozkładu a priori lub miary bazowej ujawnia tę zależność
Zmiana zmiennej stanu, nośnika, siatki lub miary referencyjnej m może zmienić odpowiedź, nawet gdy ogólne ograniczenia wyglądają identycznie
Ceny opcji stają się ograniczeniami liniowymi
Zdyskontowane ceny europejskich opcji są neutralnymi względem ryzyka wartościami oczekiwanymi funkcji wypłaty i mogą ograniczać rozkład końcowy
Normalizacja i warunek martyngałowy forwarda muszą towarzyszyć ograniczeniom strike'ów, dyskontowaniu, dywidendom i konwencjom kontraktowym
Buchen–Kelly używają maksymalnej entropii do wywnioskowania rozkładu aktywa z cen opcji; minimalna entropia krzyżowa może uwzględniać rozkład a priori
Wykonalność poprzedza optymalizację
Zaszumione wartości mid mogą naruszać ograniczenia cenowe, monotoniczność strike'ów lub wypukłość, pozostawiając brak nieujemnego rozkładu, który dokładnie dopasuje każdy kwotowany kurs
Przedziały bid–ask, dopasowanie ważone lub zmienne luzu mogą przywrócić wykonalność, ale każdy wybór zmienia informację narzuconą na rozwiązanie
Ograniczenia blisko granicy zbioru dopuszczalnego mogą koncentrować masę, wypychać mnożniki dualne na zewnątrz i pogarszać uwarunkowanie optymalizacji
Gładkość nie jest dowodem prawdy
Maksymalna entropia wybiera jeden rozkład z niedookreślonego zbioru; nie dowodzi, że rynek podąża za tym rozkładem
Rzadkie strike'i słabo identyfikują kształt ogona, a entropia może rozkładać masę zgodnie z miarą bazową, a nie dowodami ekonomicznymi
Dodanie wielu zaszumionych ograniczeń może prowadzić do przeuczenia kwotowań, a zbyt mała ich liczba może ukrywać strukturę uśmiechu i zaniżać niepewność między strike'ami
Weryfikacja ponownie wycenia i zaburza rozwiązanie
Sprawdź dodatniość, normalizację, średnią forwarda, każdy dopasowany warunek bid–ask oraz własności braku arbitrażu statycznego na gęstej siatce strike'ów
Zaburzaj kwotowania, siatki, końce nośnika, rozkłady a priori, wagi ograniczeń i tolerancje solvera, aby ujawnić niestabilne wnioski dotyczące ogona
Porównuj ceny opcji poza próbą i raportuj wybór entropii, pozostałości dualne, aktywne ograniczenia oraz niepewność, zamiast pokazywać tylko jedną implikowaną gęstość
Częste pytania
Czym jest zasada maksymalnej entropii?
Wybiera najbardziej entropijny rozkład prawdopodobieństwa spośród wszystkich rozkładów spełniających określone ograniczenia normalizacji i wartości oczekiwanych
Czy maksymalna entropia znajduje prawdziwy rozkład?
Nie. Wybiera jeden rozkład z minimalną liczbą dodatkowych założeń względem wskazanego nośnika, miary referencyjnej, zmiennych i ograniczeń
Jak ceny opcji ograniczają rozkład?
Każda cena europejska dostarcza zdyskontowanej wartości oczekiwanej jej wypłaty przy końcowym rozkładzie neutralnym względem ryzyka
Dlaczego używać entropii względnej zamiast różniczkowej?
Entropia względna czyni rozkład a priori lub miarę bazową jawnymi, podczas gdy entropia różniczkowa zmienia się przy przekształceniach współrzędnych
Źródła i dalsza lektura
Szybki test
Przeczytano? Sprawdź się w 3 pytaniach
Pytanie 01
Które stwierdzenie najlepiej pasuje do tego poradnika — Entropia porządkuje rozkłady dopuszczalne?
Wybierz odpowiedź, aby zobaczyć wyjaśnienie
Słownik opcji
The portion of premium above intrinsic value, reflecting remaining time, expected uncertainty, rates, dividends, and supply and demand.
Czytaj szczegółowy przewodnikGammaAn estimate of how much delta may change for a small move in the underlying, all else equal; it often becomes more concentrated near expiration and near the money.
Czytaj szczegółowy przewodnik