Test Ljunga–Boxa autokorelacji szeregów czasowych

Wykres autokorelacji w próbie może ujawnić zależność dla wielu opóźnień, ale osobne odczytywanie wielu słupków tworzy problem wielokrotnego testowania. Test Ljunga–Boxa łączy pierwsze \(h\) autokorelacji próbki w jedną statystykę portmanteau. Hipoteza zerowa mówi, że wszystkie autokorelacje populacyjne dla opóźnień od 1 do \(h\) są równe zero. Hipoteza alternatywna zakłada, że co najmniej jedna różni się od zera.

Box i Pierce opracowali zbiorczy test niedopasowania oszacowanych modeli szeregów czasowych. Ljung i Box zmodyfikowali statystykę, aby poprawić przybliżenie w skończonych próbach. Portmanteau oznacza, że jedna statystyka podsumowuje korelacje dla wielu opóźnień; nie oznacza, że sprawdzono każdy rodzaj zależności w szeregu czasowym.

Dla szeregu zwrotów pytanie może dotyczyć tego, czy wcześniejsze zwroty ze znakiem pozostawiają liniową zależność szeregową. Dla dopasowanego modelu ARMA zwykle sprawdza się, czy po uwzględnieniu zadanej struktury opóźnień w resztach pozostała autokorelacja. To powiązane, lecz odrębne zastosowania; przed interpretacją wyniku wskaż testowany szereg.

Niech \(\hat\rho_k\) oznacza autokorelację próbki dla opóźnienia \(k\), \(n\) — liczbę obserwacji użytych do jej obliczenia, a \(h\) — największe testowane opóźnienie. Statystyka Boxa–Pierce’a wynosi

\[ Q_{BP}=n\sum_{k=1}^{h}\hat\rho_k^2. \]

Korekta Ljunga–Boxa waży każde opóźnienie według dostępnej liczebności próby:

\[ Q_{LB}=n(n+2)\sum_{k=1}^{h}\frac{\hat\rho_k^2}{n-k}. \]

Ponieważ korelacje są podnoszone do kwadratu, statystykę zwiększają zarówno dodatnia, jak i ujemna autokorelacja. Korekta przypisuje większą wagę tej samej oszacowanej korelacji przy opóźnieniu, dla którego dostępnych jest mniej par obserwacji. W dużych próbach statystyki często są do siebie zbliżone; w skończonych próbach często stosuje się test Ljunga–Boxa, ponieważ w pierwotnym badaniu dawał lepsze przybliżenie dla małych prób.

Przy hipotezie zerowej o białym szumie i warunkach regularności testu \(Q_{LB}\) porównuje się z rozkładem chi-kwadrat. Dla surowego szeregu bez oszacowanych parametrów dynamicznych referencyjne stopnie swobody to zwykle \(h\). Dla reszt oszacowanego modelu ARMA(\(p,q\)) typowa korekta wynosi \(h-p-q\), o ile wynik jest dodatni. Uwzględnia ona parametry oszacowane przy dopasowaniu dynamiki reszt; nie jest uniwersalną instrukcją odejmowania wszystkich współczynników w dowolnej regresji. Modele zintegrowane, sezonowe, ograniczone lub inne modele specjalne mogą wymagać odmiennych konwencji. Dopasuj stopnie swobody do dokładnej definicji testu i oprogramowania. Na przykład test reszt ARMA(2,2) tylko do \(h=4\) daje po typowej korekcie zero stopni swobody. Zwykłe porównanie z rozkładem chi-kwadrat jest wtedy niedostępne; wybierz dłuższy, określony z góry zakres opóźnień albo diagnostykę odpowiednią dla modelu zamiast wymuszać rozkład o zerowej liczbie stopni swobody. Podaj również uzasadnienie wyboru horyzontu.

Załóżmy, że dopasowany model pozostawia \(n=250\) reszt, a określony wcześniej test pięciu opóźnień daje autokorelacje \(0.10, 0.05, -0.08, 0.02, -0.04\). Statystyka Boxa–Pierce’a najpierw podnosi je do kwadratu i sumuje:

\[ 0.10^2+0.05^2+(-0.08)^2+0.02^2+(-0.04)^2=0.0209. \]

Zatem \(Q_{BP}=250(0.0209)=5.225\). Po zastosowaniu wag Ljunga–Boxa otrzymujemy

\[ Q_{LB}=250(252)\left(\frac{0.0100}{249}+\frac{0.0025}{248}+\frac{0.0064}{247}+\frac{0.0004}{246}+\frac{0.0016}{245}\right)\approx 5.31. \]

To obliczenie nie jest jeszcze wartością p. Jeśli są to reszty dopasowania ARMA(1,1), typowy rozkład odniesienia ma \(h-p-q=5-1-1=3\) stopnie swobody; surowy szereg może przy własnej hipotezie zerowej używać pięciu. Wybór stopni swobody zmienia prawdopodobieństwo w prawym ogonie. Wszystkie liczby są fikcyjne i służą wyłącznie pokazaniu rachunków; nie są danymi rynkowymi ani wynikiem modelu.

Mała statystyka oznacza, że zaobserwowane autokorelacje podniesione do kwadratu nie są wyjątkowo duże w wybranym rozkładzie odniesienia. Nie dowodzi to, że są dokładnie równe zero. Duża statystyka jest trudna do pogodzenia z hipotezą zerową na wybranym poziomie. Sprawdź, które opóźnienia i cechy modelu odpowiadają za wynik, zamiast traktować samą liczbę jako diagnozę.

Górna granica \(h\) określa pytanie. Test tylko kilku krótkich opóźnień może nie wykryć wolniejszej zależności lub tygodniowego wzorca w danych dziennych. Rozszerzenie testu na wiele opóźnień może dodać słabe, zaszumione oszacowania, zmniejszyć moc wobec określonego krótkiego wzorca i uzależnić wynik od kilku korelacji dla odległych opóźnień. Duże \(h\) pozostawia też mniej stopni swobody po korekcie ARMA.

Wybierz opóźnienia na podstawie częstotliwości próbkowania, znanej struktury kalendarza, celu modelu i zależności, której nie powinno już być w resztach. W dziennych danych rynkowych opóźnienie sesyjne nie zawsze oznacza to samo co opóźnienie kalendarzowe. Dane śróddzienne mogą zawierać efekty pory dnia i nocy. Model sezonowy może wymagać sezonowych opóźnień lub diagnostyki sezonowej; jeden ogólny próg może ukryć tę strukturę.

Jeśli wypróbujesz wiele wartości \(h\), transformacji, aktywów lub rzędów modelu, a podasz tylko najmniejszą wartość p, raportowana istotność pomija skutki wyszukiwania. Określ zakres opóźnień i regułę decyzji przed interpretacją diagnostyki albo uwzględnij szersze poszukiwanie w planie wnioskowania.

Na wykresie autokorelacji często pojawiają się przybliżone granice dla pojedynczego opóźnienia, na przykład \(\pm1.96/\sqrt{n}\). Przy prostym modelu białego szumu mogą wskazywać pojedynczą autokorelację próbkową, ale nie są jednoczesnym 95-procentowym pasmem dla wszystkich opóźnień. Osobne oglądanie wielu słupków zwiększa szansę, że przynajmniej jeden przypadkowo przekroczy granicę. Test Ljunga–Boxa zadaje jedno łączne pytanie dla wcześniej wybranego zestawu, używając rozkładu odniesienia dla połączonej statystyki.

Statystykę łączną może zwiększyć jedna stosunkowo duża autokorelacja lub kilka umiarkowanych. Po teście sprawdź składniki dla kolejnych opóźnień \(n(n+2)\hat\rho_k^2/(n-k)\) oraz wykres ACF. Pojedynczy słupek poza heurystycznym pasmem nie oznacza automatycznie istotnego wyniku portmanteau; podobnie wszystkie słupki wewnątrz indywidualnych pasm nie gwarantują nieistotności statystyki łącznej.

Dla zwrotów ze znakiem test pyta, czy ich autokorelacje liniowe do opóźnienia \(h\) są łącznie równe zero. Dla dopasowanych reszt pyta, czy wybrany model pozostawił podobną zależność liniową. Odrzucenie może skłonić do sprawdzenia specyfikacji średniej, chronologii, kalendarza rynkowego i wykresów reszt, ale samo nie wskazuje brakującego składnika.

Definicja obserwacji może powodować autokorelację nawet wtedy, gdy bazowe zwroty jednookresowe są nieskorelowane. Na przykład kroczący zwrot z pięciu sesji i kolejny kroczący zwrot z pięciu sesji mają wspólne cztery zwroty dzienne. Nakładanie mechanicznie wiąże sąsiednie obserwacje. Test Ljunga–Boxa może prawidłowo odrzucić hipotezę zerowej autokorelacji w tak skonstruowanym szeregu, nie dowodząc, że dało się prognozować niepokrywający się zwrot dzienny.

Podaj, czy obserwacje to zwroty dzienne, kroczące zwroty wielodniowe, czy reszty modelu wyników z nakładających się okresów. Dopasuj kalendarz sesji, godziny zamknięcia i przedział nocny do pytania ekonomicznego. Jeśli nakładające się horyzonty są konieczne, zastosuj wnioskowanie i rozkład odniesienia odpowiednie dla tej konstrukcji, zamiast traktować wynik jako dowód samodzielnej przewagi transakcyjnej.

Skupianie zmienności może występować nawet przy niewielkiej autokorelacji zwrotów ze znakiem. Podniesienie reszt do kwadratu zmienia pytanie: autokorelacja reszt kwadratowych lub standaryzowanych reszt bezwzględnych może wskazywać zależność skali zwrotów. McLeod i Li badają autokorelacje reszt kwadratowych jako diagnostykę nieliniowej zależności po dopasowaniu ARMA. Nadal jest to diagnostyka, a nie dowód jednego, jedynego modelu zmienności. Poradnik ARCH-LM omawia bardziej ukierunkowany test zależności typu ARCH, a poradnik GARCH wyjaśnia modelowanie wariancji warunkowej.

Autokorelacja równa zero jest słabszym warunkiem niż niezależność. Szereg może mieć zerowe korelacje dla testowanych opóźnień, a mimo to wykazywać zależność przez transformacje nieliniowe, wariancję warunkową, ogony rozkładu lub reżimy. Sama statystyka Ljunga–Boxa nie mówi też nic o normalności, stacjonarności, strukturze przyczynowej ani zysku po kosztach wykonania.

Proste przybliżenie chi-kwadrat zależy od modelu, konstrukcji reszt, liczebności próby i sposobu estymacji parametrów. Jeśli najpierw dopasowano ARMA, autokorelacje reszt są oszacowanymi wielkościami, a nie korelacjami bezpośrednio zaobserwowanych innowacji. Typowa korekta stopni swobody jest praktyczną konwencją asymptotyczną, nie gwarancją dokładności w skończonej próbie dla każdej specyfikacji.

Małe próby, duży zakres opóźnień, prawie znoszące się pierwiastki AR i MA, obserwacje odstające, heteroskedastyczność warunkowa lub zależność szeregowa spoza dopasowanej rodziny mogą obniżać wiarygodność przybliżenia. Odrzucenie może wynikać ze źle określonej średniej, problemu jakości danych lub niewłaściwego rozkładu odniesienia. Brak odrzucenia może oznaczać małą moc testu albo pominięcie interesującej zależności w wyborze opóźnień.

Dla modeli złożonych lub niestandardowych użyj diagnostyki z rozkładem odniesienia dopasowanym do estymacji albo oceń kalibrację uzasadnionym bootstrapem, który powtarza etap estymacji. Losowanie reszt iid nie jest automatycznie poprawne, gdy problemem jest zależność lub zmienna wariancja. Opisz sposób losowania i oddziel wybór modelu od oceny końcowej.

Po odrzuceniu sprawdź funkcję autokorelacji, w razie potrzeby autokorelację cząstkową, chronologię reszt i wkład poszczególnych opóźnień do \(Q_{LB}\). Zastanów się, czy wzorzec jest krótkotrwały, sezonowy, wynika z pominiętego składnika średniej czy koncentruje się w resztach kwadratowych. Zmiana modelu powinna odpowiadać uzasadnionemu pytaniu o specyfikację i być oceniana na danych, które nie posłużyły do jej wyboru.

Dla reguły transakcyjnej przewidywalny wzorzec w próbie nie jest wykonalną przewagą. Prognoza kolejnego kroku musi być dostępna przed złożeniem zlecenia, utrzymać się w chronologicznym teście poza próbą i uwzględniać spread bid–ask, wpływ na rynek, prowizje, finansowanie, pożyczanie papierów i obrót. Test Ljunga–Boxa nie sprawdza zysku netto strategii ani nie dowodzi, że odrzucenie utrzyma się poza próbą.

Podaj definicję i liczbę obserwacji, testowany szereg, transformacje, granicę opóźnień, poszczególne autokorelacje lub wykres, wersję testu, referencyjne stopnie swobody, statystykę, wartość p i poziom istotności. Dla zwrotów finansowych opisz sposób uwzględnienia sesji, brakujących wartości, nakładających się horyzontów i dopasowanej wariancji warunkowej. Czytelnik będzie mógł odróżnić to, co sprawdził test, od nierozstrzygniętych kwestii.

Artykuł Boxa i Pierce’a z 1970 r. rozwija zbiorczą statystykę autokorelacji reszt. Artykuł Ljunga i Boxa z 1978 r. proponuje korektę dla skończonej próby. Artykuł McLeoda i Li z 1983 r. analizuje autokorelacje reszt kwadratowych. Materiały NIST o teście Boxa–Ljunga podsumowują statystykę i korektę stopni swobody dla reszt. Powiązane diagnostyki opisują poradniki o testach ilorazu wariancji, ARCH-LM i skupianiu zmienności GARCH.