Współczynnik zabezpieczenia z filtrem Kalmana: regresja dynamiczna w pairs trading

Stały współczynnik zabezpieczenia dopasowuje jedną wartość do próby formacyjnej, a następnie utrzymuje ją bez zmian. Model dynamiczny traktuje natomiast wyraz wolny i nachylenie jako ukryte wielkości, które mogą ewoluować w czasie. Filtr Kalmana szacuje je rekurencyjnie, łącząc poprzedni szacunek z informacją zawartą w nowej obserwacji.

Dla dwóch rozważanych aktywów oznaczmy przez \(y_t\) logarytm ceny jednego, a przez \(x_t\) logarytm ceny drugiego. Zmienną regresję długookresową można zapisać jako \(y_t=\alpha_t+\beta_t x_t+\epsilon_t\). Współczynnik \(\beta_t\) opisuje dopasowaną relację w chwili \(t\); nie jest automatycznie liczbą akcji, pozycją neutralną względem wartości w dolarach ani stabilnym prawem ekonomicznym.

To zastosowanie wykorzystuje ogólną rekurencję predykcji i aktualizacji liniowego modelu w przestrzeni stanów. Kalman wprowadził rekurencyjne ramy filtrowania, a późniejsze prace ekonometryczne zastosowały je do zmiennych w czasie współczynników regresji. Stochastyczny spread w pairs trading to jedno z zastosowań, ale założenia dotyczące handlu trzeba oceniać niezależnie od algorytmu filtrującego.

Zdefiniujmy wektor stanu i wiersz obserwacji:

\[ \theta_t=\begin{bmatrix}\alpha_t\\\beta_t\end{bmatrix}, \qquad H_t=\begin{bmatrix}1&x_t\end{bmatrix}. \]

Równanie obserwacji ma postać \(y_t=H_t\theta_t+\epsilon_t\). Mówi, że zaobserwowany logarytm ceny jest związany z ukrytym wyrazem wolnym i współczynnikiem zabezpieczenia, a także z szumem obserwacyjnym. Częstym punktem wyjścia jest założenie, że oba współczynniki podążają za błądzeniem losowym:

\[ \theta_t=\theta_{t-1}+\eta_t,\qquad \eta_t\sim N(0,Q),\qquad \epsilon_t\sim N(0,R). \]

Macierz \(Q\) jest kowariancją zmian współczynników, a \(R\) wariancją szumu obserwacyjnego. Przy \(Q=0\) współczynniki są w tym modelu stałe; dodatnie \(Q\) pozwala im dryfować. Możliwe są inne równania przejścia stanu, ale każde z nich oznacza inne założenie o zachowaniu relacji.

Diagonalna macierz \(Q\) dodaje założenie, że szoki wyrazu wolnego i nachylenia są nieskorelowane. Elementy poza przekątną pozwalają im zmieniać się wspólnie, ale próba musi zawierać dość informacji, by oszacować tę kowariancję. Każda prawidłowa macierz kowariancji jest symetryczna i dodatnio półokreślona.

Ta prosta specyfikacja zakłada, że zakłócenia procesu i obserwacji mają średnią zero, nie są skorelowane szeregowo i są wzajemnie niezależne. Są to założenia modelu; obserwacje cen nie spełniają ich automatycznie.

Na koniec chwili \(t-1\) filtr dysponuje oszacowaniem \(\hat\theta_{t-1|t-1}\) i kowariancją \(P_{t-1|t-1}\). Równanie stanu z błądzeniem losowym daje prognozę

\[ \hat\theta_{t|t-1}=\hat\theta_{t-1|t-1}, \qquad P_{t|t-1}=P_{t-1|t-1}+Q. \]

Szacunek jest przenoszony dalej, natomiast niepewność rośnie o dopuszczoną kowariancję zmian współczynników. \(P\) opisuje niepewność ukrytego stanu regresji w ramach wskazanego modelu. Nie jest prognozą straty z handlu parą ani pełną miarą ryzyka portfela.

Jednokrokowa prognoza obserwacji wynosi \(H_t\hat\theta_{t|t-1}\). Stan a priori ma znaczenie, ponieważ wyznaczono go bez nowego \(y_t\). Jeśli resztę oblicza się dopiero po aktualizacji współczynników tą samą obserwacją, aktualizacja zdążyła już przesunąć ją w stronę zera.

Ponieważ \(H_t\) zawiera \(x_t\), bieżąca cena objaśniająca wpływa zarówno na \(S_t\), jak i na wzmocnienie. Gdy niepewność nachylenia jest istotna, obserwacje przy różnych wartościach \(x_t\) mogą wnosić różne informacje o \(\beta_t\), choć znaczenie ma także kowariancja wyrazu wolnego i nachylenia. Centrowanie lub przeskalowanie \(x_t\) zmienia wyraz wolny i jednostki współczynnika. Odpowiednie elementy \(Q\) oraz początkowego \(P\) należy więc przekształcić lub ponownie oszacować, zamiast bez zmian przenosić.

Po nadejściu nowej obserwacji jej jednokrokowy błąd prognozy, czyli innowacja, wynosi

\[ v_t=y_t-H_t\hat\theta_{t|t-1}, \qquad S_t=H_tP_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}+R. \]

Wariancja innowacji \(S_t\) łączy przewidywaną niepewność stanu i szum obserwacyjny. Wzmocnienie Kalmana oraz aktualizacja stanu mają postać

\[ K_t=P_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}S_t^{-1}, \qquad \hat\theta_{t|t}=\hat\theta_{t|t-1}+K_tv_t. \]

Wzmocnienie rozdziela nową niespodziankę między zmianę oszacowanej relacji a potraktowanie obserwacji jako szumu. Większe wzmocnienie oznacza silniejsze dostosowanie filtru do tej obserwacji; nie oznacza, że relacja jest bardziej wiarygodna.

Załóżmy, że hipotetyczny filtr przewiduje \(\hat\alpha=2.0\) i \(\hat\beta=1.20\) dla \(x_t=50\), co daje \(\hat y=62.0\). Jeśli zaobserwowano \(y_t=62.8\), innowacja wynosi 0.8. Przy wzmocnieniu modelu równym \([0.08,0.006]^{\mathsf T}\) zaktualizowany wyraz wolny wynosi 2.064, a nachylenie 1.2048. Wymyślone liczby służą wyłącznie pokazaniu rachunku; nie są empirycznym współczynnikiem zabezpieczenia ani dowodem, że odchylenie powróci.

Macierz szumu procesu \(Q\) określa, jak bardzo współczynniki regresji mogą zmieniać się między obserwacjami. Większe \(Q\) zwykle zwiększa wzmocnienie i sprawia, że szacunek szybciej reaguje. Może wcześniej podążać za rzeczywistą zmianą, ale może też gonić przejściowy szum i tworzyć szybko zmieniające się wagi zabezpieczenia. Bardzo małe \(Q\) daje gładszy szacunek, który może jednak opóźniać się względem prawdziwego załamania.

Wariancja szumu obserwacyjnego \(R\) opisuje zmienność \(y_t\), której relacja nie wyjaśnia. Przy pozostałych wielkościach niezmienionych większe \(R\) oznacza, że filtr mniej ufa każdej nowej obserwacji. Ani \(Q\), ani \(R\) nie są uniwersalnymi stałymi strojenia. Ich skala zależy od tego, czy model używa cen, logarytmów cen czy znormalizowanych szeregów, a także od wybranego interwału próbkowania.

Analityk może oszacować parametry szumu metodą największej wiarygodności albo z góry ustalić je na podstawie okna treningowego. Strojenie ich pod wyniki końcowego okresu handlu ujawnia informację o rezultacie. Znaczenie mają także stan początkowy \(\hat\theta_{0|0}\) i jego kowariancja \(P_{0|0}\): niepewna inicjalizacja może powodować szybkie dostosowanie na początku. Raportuj inicjalizację, próbę estymacji parametrów i wrażliwość na rozsądne alternatywy.

Szacunek filtrowany \(\hat\theta_{t|t}\) wykorzystuje obserwacje do chwili \(t\). Szacunek wygładzony dla chwili \(t\) może używać także późniejszych obserwacji. Wygładzanie pomaga opisywać historyczne stany ukryte, ale nie było dostępne traderowi w historycznym momencie podejmowania decyzji.

Ten sam problem czasowy dotyczy estymacji \(Q\), \(R\), wyboru par i progów sygnału. Jeśli zostaną dopasowane raz do całej próby, wcześniejsze szacunki korzystają z późniejszych obserwacji, nawet gdy rekurencja współczynników sama przebiega tylko w jedną stronę. W symulacji działania w czasie rzeczywistym estymuj hiperparametry wyłącznie na okresie formacyjnym, zamroź je lub aktualizuj według jawnego harmonogramu walk-forward, a każdą decyzję o pozycji podejmuj na podstawie informacji dostępnych przed realizacją.

Czas obserwacji nie jest czasem realizacji zlecenia. Jeśli do obliczenia \(v_t\) potrzebna jest cena zamknięcia z chwili \(t\), backtest nie może zakładać realizacji po tej samej cenie zamknięcia, chyba że pozwala na to proces wykonania. Użyj następnej wykonalnej kwotacji albo uzasadnionego modelu realizacji i uwzględnij spread, wpływ na rynek, prowizje, pożyczkę papierów i finansowanie.

W badaniu par innowacja \(v_t\) sprzed aktualizacji jest odchyleniem od wcześniejszej dopasowanej relacji. Podzielenie jej przez \(\sqrt{S_t}\) daje innowację standaryzowaną według modelu. Ułatwia porównanie niespodzianek z okresów o różnej oszacowanej niepewności, ale nie mówi, ile kupić lub sprzedać z każdego aktywa ani czy duża niespodzianka się odwróci.

Reszta po aktualizacji \(y_t-H_t\hat\theta_{t|t}\) jest inną wielkością, ponieważ bieżąca obserwacja posłużyła do zmiany współczynników. Połączenie tej reszty z progiem sprzed aktualizacji zmienia znaczenie sygnału. Jawnie określ spread, moment pomiaru i próg oraz podaj, czy współczynnik jest prognozowany, filtrowany czy wygładzony.

Nawet jeśli \(\beta_t\) oszacowano na logarytmach cen, do przełożenia go na zlecenia potrzebna jest osobna reguła zajmowania pozycji. Wagi dla logarytmów cen nie określają bezpośrednio liczby akcji ani kontraktów. Ceny, mnożniki kontraktów, waluty i ograniczenia rachunku wyznaczają ekspozycję w dolarach; wyraz wolny nie jest przedmiotem obrotu. Znaczenie mają też koszty rebalansowania i zmiana ekspozycji między aktualizacjami współczynników.

Powoli dryfujący współczynnik może opisywać stopniową zmianę, ale może również pochłaniać relację, która przestała działać. Model z elastycznymi stanami może utrzymywać wizualnie małą dopasowaną resztę nawet wtedy, gdy nie istnieje stabilna równowaga długookresowa. Filtr nie testuje kointegracji i nie gwarantuje stacjonarności reszty.

Znaczenie ma także wybór pary. Przesiewanie wielu aktywów i pozostawienie pary z najgładszą resztą in-sample oznacza wybór na tych samych danych, na których opiera się twierdzenie o stabilności. Zdarzenia korporacyjne, nieaktualne ceny, niesynchroniczne zamknięcia, ograniczenia krótkiej sprzedaży, zmiany płynności i reżimu mogą zmieniać oszacowane stany lub utrudniać wykonanie teoretycznego zabezpieczenia.

Oprócz dopasowanej linii sprawdzaj zachowanie reszt, niepewność stanu, obrót portfela i ścieżki współczynników. Korzystaj z chronologicznych prób odłożonych i porównuj wynik z benchmarkiem o stałym współczynniku. Po uwzględnieniu realistycznych kosztów bardziej adaptacyjny szacunek musi uzasadnić dodatkowy obrót i ryzyko estymacji; sama gładkość wizualna nie jest wynikiem inwestycyjnym.

Podaj, jakie szeregi cen lub stóp zwrotu są modelowane, jak je przekształcono, częstotliwość obserwacji, daty próby i które aktywo znajduje się po każdej stronie regresji. Przedstaw równania obserwacji i stanu, macierz przejścia, \(Q\), \(R\), inicjalizację, metodę estymacji oraz informację, czy raportowane stany są filtrowane, czy wygładzone.

W przypadku wyniku handlowego zdefiniuj innowację lub spread używany w sygnale, normalizację, znacznik czasu decyzji, opóźnienie zlecenia, wielkość pozycji, regułę rebalansowania i wszystkie koszty wykonania. Opisz selekcję par, okna treningowe i testowe, ponowne dostrajanie parametrów szumu oraz zachowanie strategii po załamaniu lub brakującej obserwacji. Porównuj współczynniki stałe i dynamiczne na tych samych podziałach chronologicznych.

Artykuł Kalmana o filtrowaniu liniowym rozwija podejście rekurencyjne. Hatanaka analizuje regresje z wybranymi współczynnikami zmiennymi w czasie. Elliott, van der Hoek i Malcolm przedstawiają model stochastyczny dla pairs trading. Zobacz też poradniki o predykcji i aktualizacji Kalmana, kointegracji i korelacji w pairs trading, testowaniu rzędu Johansena oraz testach ilorazu wariancji.