Równania Kolmogorowa forward i backward — wyjaśnienie

Proces Markowa używa operatora przejścia P_{s,t}g(x) = E[g(X_t) | X_s=x] do mapowania przyszłej funkcji z powrotem na stan bieżący

Relacja Chapmana-Kołmogorowa P_{s,t}P_{t,u} = P_{s,u} mówi, że wstawienie chwili pośredniej nie zmienia przejścia

Równania forward i backward są różniczkowymi ujęciami tego samego półgrupowego lub dwuparametrowego układu ewolucji

Dla dX_t = b(t,X_t)dt + σ(t,X_t)dW_t generatorem jest L_tφ = b∂_xφ + 1/2a∂_{xx}φ, gdzie a = σ²

Działa na funkcje testowe stanu i podsumowuje ich chwilową zmianę warunkową

Generator zależy od procesu, przestrzeni stanów, dziedziny i zachowania na granicy; sama formalna postać różniczkowa jest niekompletna

Dla funkcji końcowej g zdefiniuj u(s,x) = E[g(X_t) | X_s=x], gdzie s ≤ t

Przy odpowiedniej regularności u spełnia ∂_s u + L_su = 0 oraz warunek końcowy u(t,x) = g(x)

Jest wsteczne, ponieważ funkcja na końcu jest ustalona, a chwila warunkowania s przesuwa się w stronę teraźniejszości

Operator sprzężony L_t† definiuje się przez ∫φ L_t†ρ dx = ∫ρ L_tφ dx po uwzględnieniu wyrazów brzegowych

Dla jednowymiarowej dyfuzji L_t†ρ = -∂_x(bρ) + 1/2∂_{xx}(aρ)

Operator sprzężony przenosi generator z funkcji testowych na gęstości, odwracając pochodne tam, gdzie wymaga tego całkowanie przez części

Jeśli ρ(t,x) jest gęstością stanu, spełnia ∂_tρ = L_t†ρ względem swojego rozkładu początkowego

To samo równanie zastosowane do gęstości przejścia ewoluuje zmienną docelową, utrzymując punkt początkowy ustalony

Normalizacja, nieujemność, strumień i warunki brzegowe decydują o tym, czy formalne rozwiązanie jest poprawnym prawem prawdopodobieństwa

Wycena instrumentów pochodnych zwykle rozwiązuje równanie backward od końcowej wypłaty, a dyskontowanie dodaje składnik zabijający

Prognozowanie rozkładu, profile ekspozycji, kalibracja gęstości i niektóre obliczenia ryzyka rozwiązują równanie forward od dzisiejszego prawa stanu

Oba wyniki powinny zgadzać się przez całkowanie: wartość backward równa się przyszłej wypłacie scałkowanej względem gęstości przejścia forward

Granice absorbujące, odbijające, wejściowe i niedostępne narzucają różne warunki wartości oraz strumienia prawdopodobieństwa

Sprawdź zachowanie masy lub zamierzoną utratę masy, dodatniość, dane końcowe i początkowe, dyskretyzację sprzężoną oraz zbieżność przy rozszerzaniu siatek

Niezależnie zaimplementowane oszacowanie Monte Carlo może ujawnić błędy znaku, dryfu, granicy i kierunku czasu w każdym solverze PDE