Wzór Feynman–Kaca w wycenie opcji — wyjaśnienie
Dowiedz się, jak Feynman–Kac łączy liniowe PDE wyceny z dyskontowanymi warunkowymi wartościami oczekiwanymi, w tym generatorami, przepływami pieniężnymi, numeryką i ograniczeniami
Bezpośrednia odpowiedź
Wzór Feynman–Kaca przedstawia rozwiązanie odpowiedniego liniowego parabolicznego PDE jako warunkową wartość oczekiwaną po ścieżkach dyfuzji. W finansach zamienia równanie wyceny w oczekiwane zdyskontowane końcowe i bieżące przepływy pieniężne
Generator dyfuzji ustala ewolucję lokalną
Niech dX_s = b(s,X_s)ds + σ(s,X_s)dW_s, a jego generatorem będzie Lφ = b∂_xφ + 1/2σ²∂_{xx}φ
Generator podsumowuje nieskończenie małą warunkową zmianę gładkich funkcji stanu
Łączy model ścieżki z równaniem różniczkowym, nie twierdząc, że sama nigdzie nieróżniczkowalna ścieżka ma zwykłą pochodną
Wsteczne PDE zaczyna się od warunku końcowego
Rozważ ∂_t u + Lu - r u + f = 0 z wartością końcową u(T,x) = g(x)
Tutaj g jest końcową wypłatą, r stopą zabijania lub dyskonta, a f bieżącym źródłem, którego znak wynika z podanej konwencji PDE
Ponieważ dane końcowe są znane w T, wycena działa wstecz, mimo że dyfuzja stanu rozwija się do przodu
Wartość warunkowa daje reprezentację
Przy warunkach regularności i całkowalności u(t,x) jest równe warunkowej wartości oczekiwanej zdyskontowanego g(X_T) plus zdyskontowanego skumulowanego f
Przy D_{t,s} = exp(-∫_t^s r(v,X_v)dv) reprezentacja ma postać E[D_{t,T}g(X_T) + ∫_t^T D_{t,s}f(s,X_s)ds | X_t=x]
Zastosowanie wzoru Itô do D_{t,s}u(s,X_s) sprawia, że jego dryf jest równy minus składnikowi źródłowemu, co po wzięciu wartości oczekiwanych daje tożsamość
Dyskontowanie jest częścią operatora
Stała krótka stopa daje znany czynnik e^{-r(T-t)}, ale stopy zależne od stanu wymagają całki po ścieżce
Bieżące dywidendy, kupony, koszty lub składniki źródłowe wchodzą przez całkę po czasie, a nie są ukryte w wypłacie końcowej
Zmiana znaków w PDE zmienia reprezentację, dlatego operator, warunek końcowy i kierunek czasu należy kopiować jako jeden pakiet
Wycena opcji neutralna względem ryzyka jest szczególnym przypadkiem
Przy poprawnej mierze wyceny zdyskontowana dynamika aktywa będącego przedmiotem obrotu określa L, a wartość instrumentu pochodnego rozwiązuje powiązane PDE wyceny
Dla europejskiego roszczenia bez bieżących płatności cena jest warunkową wartością oczekiwaną jego zdyskontowanej wypłaty końcowej
Black–Scholes jest jednym przykładem tego mostu, a nie definicją Feynman–Kaca i nie dowodem, że każdy rynek jest zupełny
PDE i Monte Carlo celują w tę samą wartość
Różnice skończone rozwiązują równanie wsteczne na siatce, a Monte Carlo szacuje wartość oczekiwaną po ścieżce do przodu
Zgodność między niezależnymi implementacjami jest silną kontrolą znaków, dyskontowania, warunków brzegowych i błędu próbkowania
Wybieraj metody PDE dla powierzchni i granic o niskim wymiarze, a symulację, gdy stany lub funkcjonały ścieżki czynią siatki kosztownymi
Twierdzenie ma warunki i granice
Klasyczne twierdzenia wymagają warunków dotyczących współczynników, wzrostu, regularności, całkowalności i jednoznaczności; słabsze wersje lepkościowe poszerzają zakres
Wykonanie amerykańskie tworzy przeszkodę lub nierówność wariacyjną, a nieliniowe problemy finansowania lub sterowania nie pasują do zwykłego liniowego wzoru
Skoki zastępują PDE dyfuzji równaniem całkowo-różniczkowym, podczas gdy zależność od ścieżki często wymaga rozszerzenia stanu lub innych metod
Częste pytania
Co wzór Feynman–Kaca mówi w prostych słowach?
Mówi, że określoną wartość równania różniczkowego można obliczyć przez uśrednienie zdyskontowanych wyników powiązanego procesu losowego
Dlaczego PDE wyceny rozwiązuje się wstecz?
Wypłata jest określona w terminie zapadalności, więc wartość końcowa jest znana i bieżąca wartość jest propagowana z powrotem do dziś
Czy Feynman–Kac jest tym samym co wycena neutralna względem ryzyka?
Nie. Modelowanie neutralne względem ryzyka dostarcza miary wyceny i generatora, a Feynman–Kac łączy jego liniowe PDE z wartością oczekiwaną
Czy standardowy wzór wycenia opcje amerykańskie?
Nie bezpośrednio. Wcześniejsze wykonanie zamienia równość w problem z przeszkodą lub reprezentację zatrzymania optymalnego
Źródła i dalsza lektura
Szybki test
Przeczytano? Sprawdź się w 3 pytaniach
Pytanie 01
Które stwierdzenie najlepiej pasuje do tego poradnika — Generator dyfuzji ustala ewolucję lokalną?
Wybierz odpowiedź, aby zobaczyć wyjaśnienie
Słownik opcji
The portion of premium above intrinsic value, reflecting remaining time, expected uncertainty, rates, dividends, and supply and demand.
Czytaj szczegółowy przewodnikGammaAn estimate of how much delta may change for a small move in the underlying, all else equal; it often becomes more concentrated near expiration and near the money.
Czytaj szczegółowy przewodnik