Warunek Fellera w modelach CIR i Heston — wyjaśnienie

Proces CIR używa dryfu κ(θ-X_t) i dyfuzji σ√X_t dla nieujemnego stanu, takiego jak krótka stopa lub wariancja

Kappa kontroluje szybkość powrotu do średniej, theta poziom długoterminowy, a sigma zmienność stanu

Gdy X zbliża się do zera, rozmiar losowego szoku maleje, podczas gdy dodatni dryf κθ odpycha proces od granicy

Standardowy warunek graniczny to 2κθ ≥ σ² przy dodatnich parametrach i dodatnim stanie początkowym

Porównuje on dryf do wewnątrz przy zerze z intensywnością dyfuzji, a nie sprawdza, czy kalibracja pasuje do cen opcji

Niektóre teksty używają indeksu Fellera 2κθ/σ² albo wymiaru 4κθ/σ², więc trzeba sprawdzić konwencje progów

Gdy 2κθ ≥ σ² i X_0 > 0, zero jest nieosiągalne dla idealnego ciągłoczasowego procesu CIR

Stan pozostaje ściśle dodatni w skończonych chwilach, unikając kontaktu z zdegenerowaną granicą pierwiastkową

Ścisła dodatniość jest silniejsza niż nieujemność i nie należy jej sprowadzać do niejasnego twierdzenia, że model jest stabilny

Gdy 0 < 2κθ < σ², zero jest osiągalne, ale standardowe rozwiązanie CIR pozostaje nieujemne

Przy dodatnim θ granica zera jest chwilowo odbijająca, a nie trwale pochłaniająca

Dlatego niespełnienie warunku Fellera samo w sobie nie czyni stochastycznego równania różniczkowego niepoprawnym ani ujemnym

Wariancja Hestona spełnia dv_t = κ(θ-v_t)dt + ξ√v_t dW_t, zastępując σ zmiennością zmienności ξ

Jej powszechny warunek to 2κθ ≥ ξ²; niespełnienie pozwala wariancji dotknąć zera i może zwiększyć czułość na granicę

Skalibrowany model Hestona nadal może być używany, gdy warunek nie zachodzi, ale interpretacja i traktowanie numeryczne wymagają większej ostrożności

Naiwny krok Eulera może stać się ujemny, nawet gdy dokładny proces jest nieujemny i warunek Fellera zachodzi

Pełne obcięcie, metody niejawne, schematy kwadratowo-wykładnicze lub próbkowanie dokładnego przejścia różnie obsługują granicę

Obcinanie wartości ujemnych zmienia symulowany model, dlatego należy testować zbieżność, obciążenie i stabilność greków

Raportuj iloraz 2κθ/ξ², a nie tylko informację, czy przechodzi test, i porównuj go między datami, miarami i niepewnością parametrów

Parametry fizyczne i neutralne względem ryzyka nie muszą się zgadzać, ponieważ premie za ryzyko wariancji mogą zmieniać dynamikę powrotu do średniej

Przetestuj ścieżki blisko zera, wrażliwość na krok czasu, momenty przejścia, błędy opcji i wyniki hedgingu, zanim zaufasz dopasowanemu modelowi