Wyjaśnienie transformacji Esschera w wycenie opcji
Zrozum wykładnicze przechylanie, przesunięcia kumulantów, zmiany miary Lévy’ego, dobór parametru martyngałowego, rynki niezupełne i kontrole istnienia
Bezpośrednia odpowiedź
Transformacja Esschera waży wynik x przez e^{θx} i normalizuje go funkcją tworzącą momenty. W wykładniczych modelach aktywów θ można wybrać tak, aby zdyskontowana cena była martyngałem względem przechylonej miary.
Wykładnicze przechylanie zmienia wagi wyników
Dla zmiennej losowej X z skończonym M(θ) = E[e^{θX}] definiuje się dQ_θ/dP = e^{θX}/M(θ).
Dodatnie θ podkreśla większe wyniki, a ujemne θ mniejsze, podczas gdy normalizacja sprawia, że nowe wagi sumują się do jedności.
Transformacja zmienia prawdopodobieństwa, a nie obserwowane wyniki, i istnieje tylko tam, gdzie moment wykładniczy jest skończony.
Funkcja kumulantów przesuwa się przejrzyście
Niech κ(u) = log E[e^{uX}] na swojej dziedzinie momentów.
W mierze Esschera kumulant ma postać κ_θ(u) = κ(u+θ) - κ(θ).
Pochodne κ_θ w zerze dają przechylone momenty, gdy są skończone, co czyni transformację wygodną dla metod saddlepoint i obliczeń ryzyka.
Proces potrzebuje spójnej w czasie gęstości
Dla procesu Lévy’ego X_t proces gęstości ma postać Z_t = exp(θX_t - tκ(θ)).
Niezależne stacjonarne przyrosty czynią Z dodatnim martyngałem, gdy θ leży w poprawnej dziedzinie momentów.
W Q_θ proces pozostaje procesem Lévy’ego, ale jego dryf i prawo skoków zmieniają się, podczas gdy wyniki ścieżek i zdarzenia zerowe pozostają zgodne.
Miara Lévy’ego jest przechylana wykładniczo
Przy odpowiednich konwencjach miara skoków zmienia się z ν(dx) na ν_θ(dx) = e^{θx}ν(dx).
Wariancja Browna pozostaje bez zmian, podczas gdy dryf dopasowuje się do przechylenia Browna, kompensacji skoków i konwencji obcięcia.
Porównywanie parametrów dryfu bez podania funkcji obcięcia może zatem stworzyć pozorną rozbieżność.
Warunek martyngałowy wybiera parametr wyceny
Dla S_t = S_0e^{X_t} z carry r-q zdyskontowana własność martyngałowa wymaga κ_θ(1) = r-q.
Równoważnie rozwiązuje się κ(θ+1) - κ(θ) = r-q, gdy oba momenty wykładnicze istnieją.
Równanie może nie mieć rozwiązania, mieć jedno rozwiązanie albo być numerycznie niestabilne w pobliżu granicy momentów; wybór parametru nie jest automatyczny.
Esscher jest wyborem na rynku niezupełnym
Ryzyko skoków zwykle nie jest w pełni replikowane, więc wiele równoważnych miar martyngałowych może spełniać warunek braku arbitrażu.
Reguła Esschera wybiera jedną, zachowując rodzinę modeli przechylanych wykładniczo, ale sam brak arbitrażu nie daje jej przewagi nad każdą alternatywą.
Preferencje ekonomiczne, cele kalibracji, kryteria entropii, cele zabezpieczenia lub konwencje rynku mogą wskazywać inną miarę.
Walidacja musi obejmować ogony
Zweryfikuj dziedzinę momentów dla θ i θ+1, normalizację gęstości, równoważność nośnika, równość martyngałową i przetransformowany trójskładnik.
Kalibruj ponownie między terminami i reżimami, ponieważ stabilne θ w próbie może ukrywać niestabilną ekstrapolację ogonów.
Porównaj ceny opcji i błędy zabezpieczenia przy innych dopuszczalnych miarach, aby ujawnić koszt ryzyka modelu wynikający z wyboru Esschera.
Częste pytania
Czym jest transformacja Esschera w prostych słowach?
Tworzy nowe prawo prawdopodobieństwa, nadając wykładniczo większą wagę większym lub mniejszym wynikom, a następnie je normalizując.
Jak wybiera się parametr Esschera do wyceny opcji?
Zwykle wybiera się go tak, aby zdyskontowana cena modelowanego aktywa stała się martyngałem względem przetransformowanej miary.
Czy transformacja Esschera zawsze istnieje?
Nie. Wymagane momenty wykładnicze muszą być skończone, a równanie martyngałowe może nie mieć dopuszczalnego rozwiązania.
Czy miara martyngałowa Esschera jest jednoznaczna?
Jej parametr może być jednoznaczny w rodzinie Esschera, podczas gdy nadal mogą istnieć inne równoważne miary martyngałowe.
Źródła i dalsza lektura
Szybki test
Przeczytano? Sprawdź się w 3 pytaniach
Pytanie 01
Które stwierdzenie najlepiej pasuje do tego poradnika — Wykładnicze przechylanie zmienia wagi wyników?
Wybierz odpowiedź, aby zobaczyć wyjaśnienie
Słownik opcji
The portion of premium above intrinsic value, reflecting remaining time, expected uncertainty, rates, dividends, and supply and demand.
Czytaj szczegółowy przewodnikGammaAn estimate of how much delta may change for a small move in the underlying, all else equal; it often becomes more concentrated near expiration and near the money.
Czytaj szczegółowy przewodnik