Testy biasu znaku i wielkości Engle’a–Ng dla modeli zmienności

Model może uchwycić skupianie się wielkości stóp zwrotu, a mimo to pominąć różny wpływ szoków na przyszłą wariancję. Symetryczny GARCH przypisuje dodatnim i ujemnym innowacjom o tej samej wielkości taki sam wpływ na wariancję. Jeśli standaryzowane reszty nadal układają się inaczej po szokach o przeciwnych znakach, ograniczenie może być zbyt silne dla próby.

Engle i Ng traktują to jako diagnostykę po estymacji: czy znak albo wielkość poprzedniej innowacji wyjaśnia dzisiejszą kwadratową resztę znormalizowaną? Oryginalna praca definiuje krzywą wpływu informacji i porównuje modele na dziennych stopach zwrotu z japońskich akcji. Ranking dotyczy tej próby, a nie wszystkich rynków (Engle i Ng, 1993).

„Bias” oznacza tu pozostały wzorzec zależny od znaku lub wielkości, którego model wariancji nie wyjaśnia, a nie statystyczne obciążenie estymatorów parametrów. Najpierw określ model GARCH, a potem oceń, czy jego reakcja na szoki pasuje do celu i próby.

Zapisz stopę zwrotu jako:

\[ r_t = \mu_t + \epsilon_t, \]

Tutaj \(\mu_t\) to średnia warunkowa, a \(\epsilon_t\) to innowacja po oszacowaniu modelu średniej. \(h_t\) oznacza oszacowaną wariancję warunkową; reszta standaryzowana odnosi innowację do skali wariancji przewidywanej przez model.

\[ h_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal F_{t-1}), \qquad \hat z_t=\frac{\hat\epsilon_t}{\sqrt{\hat h_t}}. \]

Przy odpowiedniej specyfikacji wariancji \(\hat z_t^2\) nie powinno systematycznie rosnąć ani maleć po określonych wcześniejszych szokach ponad to, co wyjaśnia model. Standaryzacja usuwa przewidywaną skalę wariancji; kwadraty surowych reszt mogą zachować zwykłe skupianie zmienności. Przed interpretacją p-value określ równanie średniej, resztę, wariancję, próbę i jednostki.

Zdefiniuj wskaźnik ujemnej poprzedniej innowacji i jego dopełnienie:

\[ S^-_{t-1}=\mathbf 1(\hat\epsilon_{t-1}<0), \qquad S^+_{t-1}=1-S^-_{t-1}. \]

Regresorem testu znaku jest \(S^-\), testu ujemnej wielkości \(S^-\hat\epsilon\), a dodatniej wielkości \(S^+\hat\epsilon\). Każdy odpowiada na inne pytanie: czy liczy się sam znak i czy wielkość w danej gałęzi dodaje informacje? Określ klasyfikację innowacji równej zeru i jednostki, bo współczynniki wielkości od nich zależą.

Krzywa wpływu informacji podsumowuje, jak nowa innowacja przekłada się na kolejną wariancję warunkową przy pozostałych stanach bez zmian. Krzywa symetrycznego GARCH jest symetryczna względem zera; specyfikacje asymetryczne luzują to ograniczenie. To własność modelu, nie bezpośrednio zmierzona reakcja przyczynowa rynku.

\(\mathbf z_{ot}^*\) to wektor znormalizowanych pochodnych zachowanej wariancji warunkowej względem parametrów zakłócających, obliczonych przy założeniu hipotezy zerowej. Są to składniki score/pochodnej i nie muszą być surowymi regresorami wariancji. Każda regresja pomocnicza dodaje składnik znaku lub wielkości, zachowując te pozostałe składniki.

Test znaku sprawdza, czy znak poprzedniej innowacji pomaga przewidzieć bieżącą kwadratową standaryzowaną resztę, przy zachowaniu pozostałych składników zerowego modelu wariancji. Regresja pomocnicza ma postać:

\[ \hat z_t^2=a+b_s S^-_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

Indywidualna hipoteza zerowa to \(b_s=0\). Wskaźnik znaku jest dodanym testowanym składnikiem. Istotny współczynnik wskazuje na odmienne wzorce wariancji reszt po szokach ujemnych i nieujemnych, warunkowo względem oszacowanego modelu.

Nie oznacza to, że ujemne stopy zwrotu zawsze zwiększają zmienność. Test nie identyfikuje mechanizmu przyczynowego ani wszystkich możliwych reakcji nieliniowych. Odrzucenie uzasadnia kontrolę modelu i danych.

Test skupia się na ujemnej gałęzi i sprawdza, czy wielkość innowacji wyjaśnia pozostały wzorzec:

\[ \hat z_t^2=a+b_- S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

Indywidualna hipoteza zerowa to \(b_-=0\). Gdy wskaźnik wynosi jeden, innowacja jest ujemna, więc znak współczynnika należy interpretować z uwzględnieniem konwencji znaku i jednostek. Test bada dodatkową informację o wielkości szoku; nie dowodzi przyczynowości złych wiadomości ani lepszej prognozy.

Regresory pomocnicze mogą być skorelowane, przez co trudno oddzielić wkład każdego składnika. Wyniki testów indywidualnych interpretuj razem z pełną regresją i testem łącznym.

Powiązane prace porównują asymetryczne specyfikacje wariancji, takie jak GJR, lecz ich wyniki empiryczne są ograniczone do danych i założeń danego badania (Glosten, Jagannathan i Runkle, 1993).

<!-- learn:illustration -->

Odpowiedni test analizuje gałąź dodatnich innowacji:

\[ \hat z_t^2=a+b_+ S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

Hipoteza zerowa to \(b_+=0\). Test może być istotny, nawet gdy test znaku nie jest: reakcja może zależeć od wielkości w jednej gałęzi bez prostej średniej różnicy między znakami.

„Bias dodatniej wielkości” nie oznacza, że dodatnie stopy zwrotu muszą zwiększać lub zmniejszać zmienność. EGARCH Nelsona i model progowy Zakoiana dopuszczają asymetryczną dynamikę wariancji; to alternatywy do oceny, nie automatyczne korekty ani modele zawsze lepsze.

(Nelson, 1991; Zakoian, 199490039-6)).

Trzy regresory można wspólnie sprawdzić w jednej regresji pomocniczej:

\[ \hat z_t^2=a+b_1S^-_{t-1}+b_2S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+b_3S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

Łączna hipoteza zerowa to \(b_1=b_2=b_3=0\). Przy zachowaniu pozostałych składników modelu zerowego i standardowych warunkach dużej próby test LM porównuje się asymptotycznie z rozkładem chi-kwadrat o 3 stopniach swobody. Typowa postać to \(LM=M R^2\), gdzie \(M\) oznacza liczbę użytych wierszy, a \(R^2\) pochodzi z określonej regresji. Stosuj równanie i reguły dla małej próby z wybranej implementacji.

Engle i Ng wskazują, że pominięcie \(\mathbf z_{ot}^*\) w regresji łącznej czyni test konserwatywnym: jego rozmiar nie przekracza poziomu nominalnego, ale moc może spaść.

Wyłącznie hipotetyczny przykład: dla \(M=400\) i \(R^2=0.012\) otrzymujemy \(LM=4.8\). Wartość krytyczna 5% dla chi-kwadrat z 3 stopniami swobody to około 7.81, więc tutaj nie odrzucamy hipotezy. To liczby ilustracyjne, nie wynik empiryczny ani dowód symetrii.

Małe p-value uzasadnia zbadanie określonego wzorca reszt, ale nie wybiera modelu alternatywnego ani nie dowodzi przyczynowego mechanizmu dźwigni czy ekonomicznej wartości prognozy. Duże p-value oznacza tylko, że test nie wykrył wybranego wzorca w tej próbie.

Regresory pomocnicze mogą być skorelowane, zwłaszcza wskaźnik znaku i składnik ujemnej wielkości, co osłabia moc testów indywidualnych. Znaczenie mają też liczebność próby, estymacja i utrzymana specyfikacja. Testowanie wielu aktywów, modeli, opóźnień i okien zwiększa szansę przypadkowego uzyskania małych p-value.

Wartości odstające, skoki, zmiany strukturalne, pominięta dynamika średniej lub niespójne jednostki innowacji mogą zmienić wynik. Dokumentuj definicję stopy zwrotu, okno estymacji, konwencję znaku i metodę wnioskowania; opisz ograniczenia przybliżenia asymptotycznego i rozważ odpowiedni bootstrap.

ARCH LM pyta, czy opóźnione kwadraty reszt wyjaśniają bieżący kwadrat reszty; zobacz przewodnik ARCH-LM. Engle–Ng testuje określone składniki znaku i wielkości gałęzi. Ljung–Box bada autokorelację reszt, czyli inne zagadnienie.

Po odrzuceniu można oszacować asymetryczny model, taki jak GJR-GARCH, EGARCH lub model progowy, ponownie sprawdzić reszty i osobno ocenić prognozy. QLIKE i błąd kwadratowy oceniają prognozy po ich utworzeniu; nie zastępują diagnostyki specyfikacji reszt.

Jeśli prognozę zmienności wykorzystujesz w regule handlowej, oceniaj ją poza próbą z uwzględnieniem opłat, spreadu, wpływu na rynek, finansowania i limitów ryzyka. Test biasu znaku i wielkości nie jest sygnałem kupna ani sprzedaży.