Ceny stanów Arrowa–Debreu — wyjaśnienie
Poznaj papiery zależne od stanu, dowiedz się, dlaczego ceny stanów różnią się od prawdopodobieństw i jak krzywizna cen opcji ujawnia gęstość neutralną względem ryzyka
Bezpośrednia odpowiedź
Papier wartościowy Arrowa–Debreu wypłaca jedną jednostkę w jednym określonym przyszłym stanie i zero w każdym innym. Jego bieżąca cena stanu łączy dyskontowanie w czasie, prawdopodobieństwo fizyczne oraz wartość majątku w tym stanie, więc nie jest surowym prawdopodobieństwem
Roszczenia elementarne izolują jeden przyszły stan
Załóż, że przyszła niepewność jest podzielona na wzajemnie wykluczające się stany. Papier s wypłaca jedną jednostkę wyłącznie wtedy, gdy wystąpi stan s
Każdą wypłatę zależną od stanu X można zapisać jako zbiór wielkości stanów X_s
Jeśli wszystkie roszczenia elementarne są notowane lub można je replikować, tworzą bazę do wyceny każdej wypłaty w tej skończonej przestrzeni stanów
Ceny stanów wyceniają pełne wektory wypłat
Niech q_s oznacza dzisiejszą cenę jednej jednostki w stanie s. Cena wypłaty X jest sumą q_s X_s po wszystkich stanach
Liniowość wynika z łączenia portfeli, a dodatnie ceny stanów zapobiegają uzyskaniu bezpłatnej nieujemnej wypłaty w stanie, który może wystąpić
Cena jednostki wolnej od ryzyka we wszystkich stanach jest sumą wszystkich q_s i równa się odpowiedniej cenie obligacji zerokuponowej
Cena stanu nie jest prawdopodobieństwem fizycznym
Jeśli p_s oznacza prawdopodobieństwo fizyczne, a m_s stochastyczny czynnik dyskontujący, to q_s = p_s m_s
Rzadki stan katastroficzny może mieć wysoką cenę w przeliczeniu na jednostkę prawdopodobieństwa, ponieważ majątek dostarczony w tym stanie jest szczególnie cenny
Podzielenie q_s przez cenę obligacji daje prawdopodobieństwo neutralne względem ryzyka, oddzielając normalizację od pierwotnej ceny stanu wyrażonej wartością bieżącą
Spready opcyjne przybliżają roszczenia stanów
Wąski spread motylkowy wypłaca głównie wtedy, gdy instrument bazowy kończy w pobliżu jego środkowego kursu wykonania, przybliżając wąskie roszczenie zależne od stanu
Gdy odstęp między kursami wykonania maleje, druga pochodna gładkiej europejskiej krzywej ceny call względem kursu wykonania odtwarza zdyskontowaną gęstość neutralną względem ryzyka przy standardowych założeniach
Wynik Breedena–Litzenbergera łączy obserwowalną krzywiznę między kursami wykonania z cenami stanów, a nie bezpośrednio z przekonaniami fizycznymi
Brak arbitrażu narzuca ograniczenia kształtu
Ceny call powinny spadać wraz z kursem wykonania i pozostać wypukłe, ponieważ roszczenia cyfrowe i spready motylkowe nie mogą mieć ujemnych cen
Przed interpretacją powierzchni potrzebne są także spójność kalendarzowa oraz prawidłowe uwzględnienie forwardów, dyskonta, dywidend i rozliczenia
Naruszenia mogą wynikać z nieaktualnych kwotowań, szumu bid-ask, dyskretnych kursów wykonania, wczesnego wykonania lub rzeczywistej niespójności danych wejściowych, a nie z możliwego do zawarcia arbitrażu
Niezupełne rynki pozostawiają ceny stanów niedookreślone
Jeśli notowane wypłaty nie rozpinają wszystkich stanów, wiele wektorów cen stanów może odtworzyć te same obserwowane ceny
Przedziały dla nienotowanego roszczenia wynikają z portfeli replikujących je z niedomiarem lub nadmiarem, ale wyznaczenie jednej ceny wymaga dodatkowego kryterium
Dodawanie opcji dla kolejnych kursów wykonania powiększa reprezentowaną przestrzeń wypłat, jednak ograniczone i zaszumione kontrakty nigdy nie tworzą automatycznie idealnego kontinuum
Ekstrakcja jest statystycznym problemem odwrotnym
Rzeczywiste łańcuchy opcji są rzadkie, zaszumione, asynchroniczne i ograniczone zakresem kursów wykonania. Drugie pochodne wzmacniają te niedoskonałości
Interpolacja, wygładzanie, ekstrapolacja ogonów, wykonanie amerykańskie, stopy procentowe i założenia dotyczące dywidend mogą istotnie zmienić wywnioskowaną gęstość
Przed użyciem cen stanów zweryfikuj przeszacowanie, dodatniość, całkowanie do ceny obligacji, spójność forwardu i wrażliwość na wygładzanie
Częste pytania
Czym jest papier wartościowy Arrowa–Debreu?
To roszczenie warunkowe wypłacające jedną jednostkę, jeśli wystąpi jeden określony przyszły stan, i zero w każdym innym
Czy ceny stanów są tym samym co prawdopodobieństwa?
Nie. Obejmują zarówno prawdopodobieństwo, jak i wartość majątku w każdym stanie oraz dyskontowanie w czasie
Jak opcje ujawniają ceny stanów?
Druga pochodna gładkiej europejskiej krzywej ceny call względem kursu wykonania odpowiada zdyskontowanej gęstości neutralnej względem ryzyka
Dlaczego szacowane ceny stanów mogą być niestabilne?
Wymagają różniczkowania rzadkich, zaszumionych cen, więc silnie zależą od interpolacji, ogonów, kosztu utrzymania i sposobu uwzględnienia wykonania
Źródła i dalsza lektura
Szybki test
Przeczytano? Sprawdź się w 3 pytaniach
Pytanie 01
Które stwierdzenie najlepiej pasuje do tego poradnika — Roszczenia elementarne izolują jeden przyszły stan?
Wybierz odpowiedź, aby zobaczyć wyjaśnienie
Słownik opcji
The portion of premium above intrinsic value, reflecting remaining time, expected uncertainty, rates, dividends, and supply and demand.
Czytaj szczegółowy przewodnikGammaAn estimate of how much delta may change for a small move in the underlying, all else equal; it often becomes more concentrated near expiration and near the money.
Czytaj szczegółowy przewodnik