Ornstein–Uhlenbeck-halfwaardetijd: mean reversion bij trading

Stel dat een spread boven het geschatte langetermijngemiddelde ligt. Volgens een mean-reversion-model beweegt de spread naar verwachting na verloop van tijd terug in de richting van dat gemiddelde. De halfwaardetijd beantwoordt een beperkte vraag: hoe lang duurt het volgens het geschatte model voordat de verwachte afwijking is gehalveerd? Als de begin afwijking 100 basispunten is, betekent een halfwaardetijd van vier perioden dat de conditionele verwachte afwijking van het model na vier perioden ongeveer 50 basispunten is.

Die uitspraak betreft een verwachting over mogelijke paden. Een gerealiseerde spread kan eerst stijgen, het gemiddelde snel kruisen of nog veel langer ervan verwijderd blijven. De halfwaardetijd hangt ook af van de observatie-eenheid: een schatting uit dagelijkse gegevens wordt uitgedrukt in dagen; een schatting uit uurlijkse gegevens in uren. Vermeld altijd het steekproefinterval en het model waarmee de snelheid is geschat.

Een OU-proces met één factor kan zo worden geschreven:

\[ dX_t = \kappa(\mu-X_t)\,dt + \sigma\,dW_t, \]

waarbij \(\mu\) het langetermijngemiddelde is, \(\kappa>0\) de snelheid van mean reversion, \(\sigma\) de omvang van de directe willekeurige variatie bepaalt en \(W_t\) een Brownse beweging is. De drift wijst in de richting van \(\mu\): boven het gemiddelde is de conditionele richting omlaag en eronder omhoog.

De conditionele verwachte afwijking volgt

\[ \mathbb{E}[X_{t+\tau}-\mu\mid X_t] = e^{-\kappa\tau}(X_t-\mu). \]

Stel de vermenigvuldigingsfactor gelijk aan de helft, \(e^{-\kappa h}=1/2\), en los de verstreken tijd op:

\[ h_{1/2}=\frac{\ln 2}{\kappa}. \]

De halfwaardetijd bevat geen \(\sigma\). Volatiliteit beïnvloedt hoe ver afzonderlijke paden rond de conditionele verwachting bewegen; \(\kappa\) bepaalt in dit model de verwachte afnamesnelheid. De analyse van Brownse beweging door Uhlenbeck en Ornstein vormt de klassieke basis voor dit stochastische proces. Vasicek gebruikte later een OU-achtig proces om de korte rente te modelleren.

Bij gelijkmatig verdeelde waarnemingen met interval \(\Delta\) heeft een exacte discretisatie van het OU-proces de vorm

\[ X_{t+\Delta}-\mu = \phi(X_t-\mu)+\eta_{t+\Delta}, \qquad \phi=e^{-\kappa\Delta}. \]

Voor het scalaire OU-model geldt bij \(\kappa>0\) dat \(0<\phi<1\). De discrete halfwaardetijd in aantallen waarnemingen is

\[ h_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln(\phi)}, \]

en de verstreken tijd is deze waarde vermenigvuldigd met \(\Delta\). Als de geschatte AR(1)-coëfficiënt nul of negatief is, of ten minste één bedraagt, geldt deze eenvoudige omzetting naar een positieve OU-mean-reversionsnelheid niet. Er kan een ander dynamisch model nodig zijn in plaats van een OU-interpretatie af te dwingen.

Je kunt dezelfde vergelijking ook in veranderingen schatten: \(\Delta X_t=a+bX_{t-1}+\epsilon_t\). Voor een stationaire AR(1) waarvoor ook \(0<1+b<1\) geldt, neem je \(\phi=1+b\), \(\kappa=-\ln(\phi)/\Delta\), en is het geïmpliceerde langetermijngemiddelde \(-a/b\) als \(b\ne0\). Houd bij de omzetting het steekproefinterval aan: de overstap van dagelijkse naar wekelijkse gegevens verandert de tijdschaal van de coëfficiënt.

De tijdseenheid wordt door \(\Delta\) bepaald. Bij een dagelijkse aandelenreeks staat één observatiestap gewoonlijk voor één handelssessie, niet voor 24 kalenderuren. Een halfwaardetijd van vier waarnemingen mag je dus niet automatisch omschrijven als vier kalenderdagen, bijvoorbeeld wanneer er een weekend of marktvakantie tussen zit. Als bars onregelmatige duur hebben, zoals bij gebeurtenis- of volumegebaseerde steekproeven, geldt de omzetting met een vast interval mogelijk niet. Vermeld het activum, het waarnemingsschema en of de gerapporteerde eenheid een observatie, handelssessie of verstreken tijd is.

Stel dat een dagelijks spreadmodel \(\phi=0.84\) schat op basis van gelijkmatig verdeelde dagelijkse waarnemingen. Dit is een hypothetische onderwijswaarde, geen actuele schatting. De mean-reversionsnelheid per dag is \(\kappa=-\ln(0.84)\approx0.1744\), dus

\[ h_{1/2}=\frac{\ln(0.5)}{\ln(0.84)}\approx3.98\text{ handelsdagen}. \]

Na vier dagen is de verwachte afwijking \(0.84^4\approx0.498\) keer zo groot als bij de start. Een afwijking van 100 basispunten heeft volgens het model na vier waarnemingen dus een conditionele verwachting van ongeveer 49.8 basispunten, voordat rekening wordt gehouden met schattingsonzekerheid of veranderingen in het proces.

De figuur hieronder schetst deze exponentiële afname rond een evenwicht. De curve is conceptueel, geen prijsgeschiedenis en geen bewering dat elke spread dit pad volgt. Individuele uitkomsten kunnen sterk rond het conditionele gemiddelde schommelen.

Definieer eerst \(X_t\). Een cointegratieresidu, een prijsverschil, een spread van logprijzen, een voor volatiliteit gecorrigeerd signaal en een renteverschil zijn verschillende reeksen. Hun eenheden en dynamiek verschillen. Een uitkomst van een cointegratietoets kan onder de aannames een stationaire lineaire combinatie ondersteunen, maar bewijst niet dat het residu een OU-proces met constante parameters volgt.

Kies vóór de schatting de steekproeffrequentie, de vormingsperiode, de specificatie van het gemiddelde en de lagstructuur. Een gewone AR(1) kan seriële correlatie, veranderende volatiliteit, sprongen, intraday-microstructuur of regimewisselingen verhullen. Controleer het gedrag van de residuen en de stabiliteit van parameters en vermeld als de schatting afhankelijk is van een bepaalde steekproef. De empirische vergelijking van Chan, Karolyi, Longstaff en Sanders laat zien waarom bewijs voor mean reversion zelfs bij korte rentes zwak en modelafhankelijk kan zijn.

Schat voor een handelsspread parameters met alleen de gegevens die op iedere vormingsdatum beschikbaar waren. Een spread of gemiddelde opnieuw schatten met toekomstige waarnemingen veroorzaakt look-ahead bias. Als je parameters periodiek opnieuw kalibreert, beschrijf dan het updateschema en beoordeel de volledige procedure op latere gegevens, in plaats van de geschatte coëfficiënt als bekend te behandelen.

De omzetting van \(\phi\) naar halfwaardetijd is niet-lineair. Als \(\phi\) van onderaf één nadert, nadert \(\ln(\phi)\) nul en loopt de geïmpliceerde halfwaardetijd snel op. Een kleine verandering in de geschatte coëfficiënt kan de gerapporteerde tijd daardoor sterk veranderen. De hypothetische schattingen \(\phi=0.80\), \(0.84\) en \(0.88\) impliceren bijvoorbeeld ongeveer 3.11, 3.98 en 5.42 waarnemingen per halfwaardetijd.

Rapporteer onzekerheid rond de snelheid of de omgerekende halfwaardetijd met een inferentiemethode die past bij de schatter en de steekproef. Als een betrouwbaarheidsinterval voor \(\phi\) één raakt of overschrijdt, ondersteunt dat interval mogelijk geen eindige, positieve stationaire OU-halfwaardetijd. Rapporteer niet alleen een puntschatting en corrigeer voor selectie als je uit een grote zoekactie de reeks kiest die er het snelst uitziet. Dicht bij een eenheidswortel kan de schattingsfout de schijnbare precisie van één halfwaardetijd domineren.

Ter illustratie: stel dat een hypothetisch 95%-interval voor de geschatte steekproefcoëfficiënt \([0.78,0.92]\) is. Binnen het stationaire OU-bereik neemt de omgerekende halfwaardetijd toe met \(\phi\), zodat dit interval overeenkomt met ongeveer 2.79–8.31 waarnemingen, terwijl de puntschatting \(0.84\) 3.98 oplevert. Dit interval is illustratief en geen empirisch resultaat. Als het coëfficiënteninterval één raakt, kan de bovengrens van de halfwaardetijd onbegrensd worden; waarden van één of hoger vallen buiten deze stationaire omzetting. Knip die waarden niet af om een eindig interval te construeren. De onzekerheidsmethode moet ook seriële afhankelijkheid en een eventuele geschatte constructie van de spread weerspiegelen. Bij een zoekactie over veel paren of vensters moet bovendien rekening worden gehouden met de selectie.

Neem als voorbeeld een hypothetisch 95%-interval voor de geschatte coëfficiënt \([0.78,0.92]\). Binnen het stationaire OU-bereik neemt de omgerekende halfwaardetijd toe met \(\phi\), zodat het interval overeenkomt met ongeveer 2.79–8.31 waarnemingen, terwijl de puntschatting \(0.84\) 3.98 geeft. Dit interval is een illustratie, geen empirische uitkomst. Als het coëfficiënteninterval één raakt, kan de bovengrens van de halfwaardetijd onbegrensd worden; waarden van één of hoger vallen buiten deze stationaire omzetting. Knip die waarden niet weg om een eindig interval te construeren. De onzekerheidsmethode moet ook seriële afhankelijkheid en een eventueel geschatte constructie van de spread weerspiegelen; bij zoeken over veel paren of vensters moet rekening worden gehouden met die selectiestap.

De halfwaardetijd volgt de conditioneel verwachte omvang van een afwijking. Een kruistijd vraagt wanneer een willekeurig pad voor het eerst een niveau bereikt, zoals het geschatte gemiddelde of een uitstapdrempel. De verdeling van de eerste passage hangt af van zowel drift als volatiliteit en kan breed zijn. In William Bertrams analyse van optimale statistische arbitrage worden transactieduur en rendement behandeld met berekeningen van eerste passages; dat is iets anders dan de exponentiële halfwaardetijdformule.

Een handelssysteem heeft nog steeds expliciete in- en uitstapregels, positiegrootte, risicolimieten en een reactie op een verbroken relatie nodig. Een spread kan eerst verder van het gemiddelde af bewegen en er binnen de relevante horizon niet naar terugkeren. De berekening van verwachte afname geeft geen stopniveau, geen kans om vóór een stop een winstdoel te bereiken en geen rendementsraming na kosten.

Bij pairs trading modelleer je doorgaans een samengestelde spread, niet elk activum afzonderlijk. De hedge ratio, valuta, correcties voor ondernemingsacties, financiering, beschikbaarheid van effectenleningen en herbalanceringsbeleid beïnvloeden de gerealiseerde positie. Toets in chronologische validatievensters of de langetermijnrelatie van de spread aannemelijk blijft; een snel geschatte halfwaardetijd kan een structurele breuk niet herstellen.

Neem de bied-laatspread, marktimpact, transactiekosten, financierings- of leenlasten en de tijd om beide benen uit te voeren mee. Deze kosten lopen op langs het gerealiseerde pad, niet alleen gedurende de verwachte halfwaardetijd. Selectie uit veel paren, terugkijkvensters en steekproeffrequenties kan een toevallig korte schatting ook betrouwbaarder laten lijken dan ze is. De empirische resultaten van Chan en coauteurs voor rentemodellen herinneren eraan dat een bekende mean-reversionvorm geen sterk bewijs garandeert in een bepaalde dataset.

Het OU-kader kan helpen een hypothese over de verwachte dynamiek van een spread te structureren. Of een handelsregel werkt, is een afzonderlijke empirische vraag die afhangt van stabiliteit, onzekerheid, uitvoering en resultaten buiten de steekproef.

Vermeld de definitie van de reeks, de prijs- of rendementsconventie, het steekproefinterval, het steekproefvenster, het geschatte gemiddelde en de snelheids- en volatiliteitsparameter. Geef aan of de OU-vergelijking in continue tijd is opgesteld of uit een discreet AR-model is afgeleid. Rapporteer de coëfficiëntschatting en onzekerheid, leg uit hoe de halfwaardetijd is omgerekend en toon de gevoeligheid voor een redelijk alternatief venster of steekproefinterval.

Beschrijf voor een handelstoepassing ook hoe de spread is samengesteld, hoe parameters worden bijgewerkt, welke informatie bij elke beslissing beschikbaar is en hoe transactiekosten en uitblijvende convergentie worden behandeld. Presenteer de halfwaardetijd als een modelmatige samenvatting van verwachte afname, met onzekerheid en eenheden. Gebruik haar niet als zelfstandig in- of uitstapsignaal of als winstgevendheidsclaim.

Uhlenbeck en Ornsteins artikel uit 1930 over Brownse beweging werkt het onderliggende stochastische proces met mean reversion uit. Vasiceks model voor de rentetermijnstructuur90016-2) gebruikt een OU-achtig kortetermijnrenteproces. Chan, Karolyi, Longstaff en Sanders vergelijken continue-tijdspecificaties voor kortetermijnrentes en rapporteren dat bewijs en passing afhangen van de modelkeuze. Bertram leidt resultaten voor optimale statistische arbitrage met eerste-passage-tijden af en laat zien dat transactieduur een aparte grootheid is. Andere gidsen behandelen cointegratie en correlatie bij pairs trading, eenheidswortels en mean reversion en de Engle–Granger-toets voor cointegratie.