Hedge ratio met het Kalman-filter: dynamische regressie voor pairs trading

Een vaste hedge ratio schat één coëfficiënt op een vormingsperiode en houdt die daarna constant. Een dynamisch hedgemodel behandelt het intercept en de helling daarentegen als latente grootheden die in de tijd kunnen veranderen. Het Kalman-filter schat die recursief door de vorige schatting te combineren met de informatie uit een nieuwe waarneming.

Voor twee mogelijke activa staat \(y_t\) voor de logprijs van het ene en \(x_t\) voor de logprijs van het andere. Een veranderende langetermijnregressie kan worden geschreven als \(y_t=\alpha_t+\beta_t x_t+\epsilon_t\). De coëfficiënt \(\beta_t\) beschrijft de geschatte relatie op tijdstip \(t\); het is niet automatisch een aantal aandelen, een dollarneutrale positie of een stabiele economische wetmatigheid.

Deze toepassing gebruikt de algemene predictie-en-update-recursie van een lineair toestandsruimtemodel. Kalman introduceerde het recursieve filterkader; later econometrisch werk paste het toe op regressiecoëfficiënten die in de tijd variëren. Een stochastische spread voor pairs trading is één toepassing, maar de aannames voor de handel moeten apart van het filteralgoritme worden beoordeeld.

Definieer de toestandsvector en de observatierij als

\[ \theta_t=\begin{bmatrix}\alpha_t\\\beta_t\end{bmatrix}, \qquad H_t=\begin{bmatrix}1&x_t\end{bmatrix}. \]

De observatievergelijking is \(y_t=H_t\theta_t+\epsilon_t\). De waargenomen logprijs hangt daarin samen met het latente intercept en de hedgecoëfficiënt, plus observatieruis. Een gebruikelijk uitgangspunt is dat beide coëfficiënten een random walk volgen:

\[ \theta_t=\theta_{t-1}+\eta_t,\qquad \eta_t\sim N(0,Q),\qquad \epsilon_t\sim N(0,R). \]

Hier is \(Q\) de covariantie van de coëfficiëntveranderingen en \(R\) de variantie van de observatieruis. Met \(Q=0\) blijven de coëfficiënten in dit model vast; een positieve \(Q\) laat ze driften. Andere toestandovergangen zijn mogelijk, maar elk daarvan doet een andere uitspraak over het gedrag van de relatie.

Een diagonale \(Q\) voegt de aanname toe dat schokken in het intercept en de helling ongecorreleerd zijn. Niet-diagonale termen laten ze samen bewegen, maar daarvoor moet de steekproef genoeg informatie bevatten om die covariantie te schatten. Elke geldige covariantiematrix is symmetrisch en positief semidefiniet.

Deze eenvoudige specificatie veronderstelt proces- en observatiestoringen met gemiddelde nul, zonder seriële correlatie en onderling onafhankelijk. Dat zijn modelaannames; prijswaarnemingen voldoen daar niet vanzelf aan.

Aan het einde van \(t-1\) beschikt het filter over een schatting \(\hat\theta_{t-1|t-1}\) en covariantie \(P_{t-1|t-1}\). De random-walk-toestandsvergelijking voorspelt

\[ \hat\theta_{t|t-1}=\hat\theta_{t-1|t-1}, \qquad P_{t|t-1}=P_{t-1|t-1}+Q. \]

De schatting wordt doorgetrokken, terwijl de onzekerheid toeneemt met de toegestane covariantie van coëfficiëntveranderingen. \(P\) beschrijft de onzekerheid over de latente regressietoestand onder het opgegeven model. Het is geen voorspelling van het handelsverlies op het paar en ook geen volledige maatstaf voor portefeuillerisico.

De éénstapsvoorspelling van de waarneming is \(H_t\hat\theta_{t|t-1}\). De eerdere toestand is van belang omdat die zonder de nieuwe \(y_t\) is berekend. Een residu dat pas wordt berekend nadat de coëfficiënten met diezelfde waarneming zijn bijgewerkt, is door de update al naar nul getrokken.

Omdat \(H_t\) de waarde \(x_t\) bevat, beïnvloedt de actuele verklarende prijs zowel \(S_t\) als de gain. Als de onzekerheid over de helling groot is, kunnen waarnemingen met verschillende waarden van \(x_t\) anders informeren over \(\beta_t\), al speelt ook de covariantie tussen intercept en helling mee. Centreren of herschalen van \(x_t\) verandert het intercept en de eenheden van de coëfficiënt. De overeenkomstige elementen van \(Q\) en de beginwaarde van \(P\) moeten daarom worden omgerekend of opnieuw geschat, niet ongewijzigd worden overgenomen.

Wanneer de nieuwe waarneming binnenkomt, is de éénstapsvoorspellingsfout, of innovatie,

\[ v_t=y_t-H_t\hat\theta_{t|t-1}, \qquad S_t=H_tP_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}+R. \]

De innovatievariantie \(S_t\) combineert de voorspelde toestandsonzekerheid met observatieruis. De Kalman-gain en de toestandupdate zijn

\[ K_t=P_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}S_t^{-1}, \qquad \hat\theta_{t|t}=\hat\theta_{t|t-1}+K_tv_t. \]

De gain verdeelt de nieuwe verrassing tussen een aanpassing van de geschatte relatie en het behandelen van de waarneming als ruis. Een hogere gain betekent dat het filter zich sterker aan deze waarneming aanpast; het betekent niet dat de relatie betrouwbaarder is.

Stel dat een hypothetisch filter \(\hat\alpha=2.0\) en \(\hat\beta=1.20\) voorspelt bij \(x_t=50\), met \(\hat y=62.0\). Als de waargenomen \(y_t=62.8\) is, bedraagt de innovatie 0.8. Bij een modelgain van \([0.08,0.006]^{\mathsf T}\) worden het bijgewerkte intercept 2.064 en de helling 1.2048. Deze verzonnen waarden illustreren alleen de berekening; ze zijn geen empirische hedge ratio en bewijzen niet dat de afwijking terugkeert.

De procesruismatrix \(Q\) geeft aan hoeveel de regressiecoëfficiënten tussen opeenvolgende waarnemingen mogen veranderen. Een grotere \(Q\) verhoogt doorgaans de gain en maakt de schatting responsiever. Zo kan een echte verandering eerder worden gevolgd, maar het filter kan ook tijdelijke ruis najagen en snel veranderende hedgegewichten opleveren. Een zeer kleine \(Q\) geeft een gladdere schatting die achter kan lopen op een echte breuk.

De observatieruisvariantie \(R\) beschrijft variatie in \(y_t\) die de relatie niet verklaart. Als de overige grootheden gelijk blijven, zorgt een grotere \(R\) ervoor dat het filter elke nieuwe waarneming minder vertrouwt. \(Q\) en \(R\) zijn geen universele afstelconstanten. Hun schaal hangt af van het gebruik van prijzen, logprijzen of genormaliseerde reeksen en van het gekozen waarnemingsinterval.

Een analist kan ruisparameters met likelihood schatten of vooraf bepalen op basis van een trainingsvenster. Afstellen op de uiteindelijke handelsperiode lekt informatie over de uitkomst. Ook de beginwaarde \(\hat\theta_{0|0}\) en covariantie \(P_{0|0}\) zijn van belang: een onzekere initialisatie kan aanvankelijk snelle aanpassingen veroorzaken. Rapporteer de initialisatie, de steekproef voor parameterschatting en de gevoeligheid voor redelijke alternatieven.

Een gefilterde schatting \(\hat\theta_{t|t}\) gebruikt waarnemingen tot en met tijdstip \(t\). Een gesmoothde schatting op \(t\) kan ook latere waarnemingen gebruiken. Smoothing kan helpen om latente toestanden in het verleden te beschrijven, maar is niet beschikbaar voor een handelaar op het historische beslismoment.

Hetzelfde timingprobleem geldt voor het schatten van \(Q\), \(R\), de selectie van paren en signaaldrempels. Als die één keer op de volledige steekproef worden afgestemd, profiteren eerdere schattingen van latere waarnemingen, ook als de coëfficiëntenrecursie zelf maar één kant op loopt. Schat hyperparameters voor een realtime simulatie alleen op een vormingsperiode, houd ze vast of actualiseer ze volgens een vooraf beschreven walk-forward-schema, en neem elke positiebeslissing met informatie die vóór uitvoering beschikbaar is.

Het tijdstip van de waarneming is niet het tijdstip van uitvoering. Als de slotkoers op \(t\) nodig is om \(v_t\) te berekenen, kan een backtest niet zonder meer uitgaan van uitvoering op diezelfde slotkoers, tenzij de uitvoering dat mogelijk maakt. Gebruik de eerstvolgende uitvoerbare notering of een verdedigbaar uitvoeringsmodel en neem spread, marktimpact, kosten, leen- en financieringskosten mee.

Bij een paarsgewijze analyse is de innovatie \(v_t\) vóór de update de verrassing ten opzichte van de vooraf geschatte relatie. Delen door \(\sqrt{S_t}\) geeft een gestandaardiseerde innovatie volgens het model. Dat maakt verrassingen uit perioden met verschillende geschatte onzekerheid vergelijkbaar, maar zegt niet hoeveel van elk activum moet worden gekocht of verkocht, noch of een grote verrassing zal terugkeren.

Het residu na de update, \(y_t-H_t\hat\theta_{t|t}\), is iets anders omdat de actuele waarneming is gebruikt om de coëfficiënten te herzien. Dat residu combineren met een drempel van vóór de update verandert de betekenis van het signaal. Definieer de spread, timing en drempel expliciet en vermeld of de coëfficiënt voorspeld, gefilterd of gesmoothd is.

Ook wanneer \(\beta_t\) uit logprijzen is geschat, is een aparte positiebepalingsregel nodig om die om te zetten in orders. Gewichten op logprijzen specificeren niet rechtstreeks aantallen aandelen of contracten. Prijzen, contractmultipliers, valuta's en rekeninglimieten bepalen de blootstelling in dollars; het intercept is geen verhandelbaar activum. Herbalanceerkosten en veranderende blootstelling tussen updates tellen eveneens mee.

Een langzaam drijvende coëfficiënt kan een geleidelijke verandering weergeven, maar ook een relatie opvangen die is stukgelopen. Een model met flexibele toestanden kan het gepaste residu visueel klein houden zonder een stabiel langetermijnevenwicht. Het filter test geen co-integratie en garandeert niet dat het residu stationair is.

Ook de keuze van het paar is van belang. Als uit veel activa het paar met het gladste in-sample-residu wordt gekozen, wordt de stabiliteitsclaim op dezelfde gegevens geselecteerd. Bedrijfshandelingen, verouderde prijzen, niet-gelijktijdige slotkoersen, beperkingen op short selling, veranderende liquiditeit en regimewisselingen kunnen de geschatte toestanden veranderen of een papieren hedge moeilijk uitvoerbaar maken.

Controleer naast de gepaste lijn ook het gedrag van residuen, toestandsonzekerheid, turnover en coëfficiënttrajecten. Gebruik chronologische hold-outperioden en vergelijk met een benchmark met vaste ratio. Een adaptievere schatting moet na realistische kosten de extra turnover en het schattingsrisico rechtvaardigen; visuele gladheid alleen is geen prestatieresultaat.

Vermeld welke prijs- of rendementsreeksen worden gemodelleerd, hoe ze zijn getransformeerd, de waarnemingsfrequentie, de steekproefdata en welk activum aan elke kant van de regressie staat. Geef de observatie- en toestandsvergelijkingen, de overgangsmatrix, \(Q\), \(R\), de initialisatie, de schattingsmethode en of de gerapporteerde toestanden gefilterd of gesmoothd zijn.

Definieer voor handelsresultaten de innovatie of spread voor het signaal, de normalisatie, het beslissingstijdstip, de ordervertraging, positiegrootte, herbalanceerregel en alle uitvoeringskosten. Beschrijf de paarscreening, trainings- en testvensters, het opnieuw afstellen van ruisparameters en het gedrag na een breuk of ontbrekende waarneming. Vergelijk vaste en dynamische coëfficiënten op dezelfde chronologische splitsingen.

Kalman's artikel over lineaire filtering ontwikkelt het recursieve kader. Hatanaka behandelt regressies met enkele tijdvariërende coëfficiënten. Elliott, van der Hoek en Malcolm beschrijven een stochastisch model voor pairs trading. Lees ook de gidsen over Kalman-predictie en -update, co-integratie versus correlatie bij pairs trading, Johansen-rangtoetsing en variantieratiotoetsen.