De Feynman–Kac-formule voor optiewaardering uitgelegd
Leer hoe Feynman–Kac lineaire prijs-PDE's koppelt aan verdisconteerde voorwaardelijke verwachtingen, inclusief generatoren, kasstromen, numeriek rekenen en beperkingen
Direct antwoord
De Feynman–Kac-formule stelt de oplossing van een geschikte lineaire parabolische PDE voor als een voorwaardelijke verwachting over diffusiepaden. In de financiële context verandert ze een prijsvergelijking in verwachte verdisconteerde eind- en doorlopende kasstromen
De diffusiegenerator bepaalt de lokale evolutie
Neem dX_s = b(s,X_s)ds + σ(s,X_s)dW_s en definieer de generator als Lφ = b∂_xφ + 1/2σ²∂_{xx}φ
De generator vat de oneindig kleine voorwaardelijke verandering van gladde functies van de toestand samen
Hij verbindt het padmodel met een differentiaalvergelijking zonder te beweren dat het nergens differentieerbare pad zelf een gewone afgeleide heeft
Een achterwaartse PDE begint bij de eindvoorwaarde
Beschouw ∂_t u + Lu - r u + f = 0 met eindwaarde u(T,x) = g(x)
Hier is g een einduitbetaling, r een rente voor doding of verdiscontering en f een doorlopende bron waarvan het teken de opgegeven PDE-conventie volgt
Omdat de eindgegevens op T bekend zijn, werkt waardering achterwaarts, ook al evolueert de toestandsdiffusie voorwaarts
Voorwaardelijke verwachting geeft de representatie
Onder voorwaarden voor regelmatigheid en integreerbaarheid is u(t,x) gelijk aan de voorwaardelijke verwachting van verdisconteerde g(X_T) plus geaccumuleerde verdisconteerde f
Met D_{t,s} = exp(-∫_t^s r(v,X_v)dv) is de representatie E[D_{t,T}g(X_T) + ∫_t^T D_{t,s}f(s,X_s)ds | X_t=x]
De formule van Itô toepassen op D_{t,s}u(s,X_s) maakt de drift gelijk aan minus de bronterm. Na het nemen van verwachtingen volgt daaruit de identiteit
Verdiscontering maakt deel uit van de operator
Een constante korte rente geeft de bekende factor e^{-r(T-t)}, maar toestandsafhankelijke rentes vereisen een padintegraal
Doorlopende dividenden, coupons, kosten of brontermen komen via de tijdintegraal binnen in plaats van verborgen te zijn in de einduitbetaling
Veranderen de tekens in de PDE, dan verandert de representatie. Kopieer daarom de operator, eindvoorwaarde en tijdsrichting als één geheel
Risiconeutrale optiewaardering is een speciaal geval
Onder een geldige prijsmaat bepalen de dynamiek van het verdisconteerde verhandelbare actief de generator en lost de waarde van het derivaat de bijbehorende prijs-PDE op
Voor een Europese claim zonder doorlopende betalingen is de prijs de voorwaardelijke verwachting van de verdisconteerde einduitbetaling
Black–Scholes is één voorbeeld van deze brug, niet de definitie van Feynman–Kac en geen bewijs dat elke markt compleet is
PDE en Monte Carlo mikken op dezelfde waarde
Eindige verschillen lossen de achterwaartse vergelijking op een rooster op, terwijl Monte Carlo de verwachting over voorwaartse paden schat
Overeenstemming tussen onafhankelijke implementaties is een krachtige controle op tekens, verdiscontering, randvoorwaarden en steekproeffout
Kies PDE-methoden voor oppervlakken en grenzen met lage dimensie; kies simulatie wanneer toestanden of padfuncties roosters duur maken
De stelling heeft voorwaarden en grenzen
Klassieke formuleringen vereisen voorwaarden voor coëfficiënten, groei, regelmatigheid, integreerbaarheid en uniciteit; zwakkere viscositeitsversies verruimen het toepassingsgebied
Amerikaanse uitoefening creëert een obstakel of variationele ongelijkheid, en niet-lineaire financierings- of controleproblemen passen niet in de gewone lineaire formule
Sprongen vervangen de diffusie-PDE door een integro-differentiaalvergelijking, terwijl padafhankelijkheid vaak uitbreiding van de toestand of andere methoden vereist
Veelgestelde vragen
Wat zegt de Feynman–Kac-formule in eenvoudige termen?
Ze zegt dat een bepaalde waarde uit een differentiaalvergelijking kan worden berekend door verdisconteerde uitkomsten van een gerelateerd willekeurig proces te middelen
Waarom wordt de prijs-PDE achterwaarts opgelost?
De uitbetaling is op de vervaldag vastgelegd, dus de eindwaarde is bekend en de huidige waarde wordt terug naar vandaag voortgeplant
Is Feynman–Kac hetzelfde als risiconeutrale waardering?
Nee. Risiconeutraal modelleren levert een prijsmaat en generator; Feynman–Kac verbindt vervolgens de lineaire PDE en verwachting daarvan
Prijst de standaardformule Amerikaanse opties?
Niet rechtstreeks. Vroegtijdige uitoefening verandert de gelijkheid in een obstakelprobleem of een representatie als optimal stopping
Bronnen en verder lezen
Snelle check
De gids gelezen? Test jezelf met 3 vragen
Vraag 01
Welke uitspraak past het best bij deze gids — De diffusiegenerator bepaalt de lokale evolutie?
Kies een antwoord om de uitleg te zien
Optiewoordenlijst
The portion of premium above intrinsic value, reflecting remaining time, expected uncertainty, rates, dividends, and supply and demand.
Lees de uitgebreide gidsGammaAn estimate of how much delta may change for a small move in the underlying, all else equal; it often becomes more concentrated near expiration and near the money.
Lees de uitgebreide gids