De Esscher-transformatie bij optiewaardering uitgelegd
Begrijp exponentieel kantelen, verschuivingen van cumulanten, veranderingen van de Lévy-maat, de keuze van de martingaalparameter, onvolledige markten en bestaanscontroles
Direct antwoord
De Esscher-transformatie weegt uitkomst x met e^{θx} en normaliseert met de momentgenererende functie. In exponentiële activamodellen kan θ zo worden gekozen dat de verdisconteerde prijs onder de gekantelde maat een martingaal is
Exponentieel kantelen herweegt uitkomsten
Voor een stochastische variabele X met eindige M(θ) = E[e^{θX}] definiëren we dQ_θ/dP = e^{θX}/M(θ)
Een positieve θ benadrukt grotere uitkomsten en een negatieve θ kleinere, terwijl de normalisatie ervoor zorgt dat de nieuwe gewichten optellen tot één
De transformatie verandert kansen, niet de waargenomen uitkomsten, en bestaat alleen waar de exponentiële momentgenererende functie eindig is
De cumulantfunctie verschuift op een eenvoudige manier
Neem κ(u) = log E[e^{uX}] op zijn momentdomein
Onder de Esscher-maat is de cumulant κ_θ(u) = κ(u+θ) - κ(θ)
Afgeleiden van κ_θ in nul geven gekantelde momenten wanneer die eindig zijn, waardoor de transformatie handig is voor saddlepoint-methoden en risicoberekeningen
Een proces heeft een tijdconsistente dichtheid nodig
Voor een Lévy-proces X_t is het dichtheidsproces Z_t = exp(θX_t - tκ(θ))
Onafhankelijke stationaire incrementen maken van Z een positieve martingaal wanneer θ in het geldige momentdomein ligt
Onder Q_θ blijft het proces een Lévy-proces, maar zijn drift en sprongwet veranderen, terwijl paduitkomsten en nulgebeurtenissen compatibel blijven
De Lévy-maat wordt exponentieel gekanteld
Onder passende conventies verandert de sprongmaat van ν(dx) in ν_θ(dx) = e^{θx}ν(dx)
De Brownse variantie blijft ongewijzigd, terwijl de drift wordt aangepast voor de Brownse kanteling, de sprongcompensatie en de truncatieconventie
Driftparameters vergelijken zonder de truncatiefunctie te vermelden kan daarom een schijnbare afwijking veroorzaken
Een martingaalvoorwaarde kiest de prijsparameter
Voor S_t = S_0e^{X_t} met carry r-q vereist verdisconteerde martingaliteit κ_θ(1) = r-q
Equivalent lossen we κ(θ+1) - κ(θ) = r-q op wanneer beide exponentiële momenten bestaan
De vergelijking kan geen oplossing, één oplossing of numerieke instabiliteit nabij de momentgrens hebben; de parameterkeuze gebeurt niet automatisch
Esscher is een keuze in een onvolledige markt
Sprongrisico wordt doorgaans niet volledig gespannen door verhandelbare activa, zodat meerdere equivalente martingaalmaten aan de afwezigheid van arbitrage kunnen voldoen
De Esscher-regel kiest er één door een exponentieel gekantelde modelfamilie te behouden, maar afwezigheid van arbitrage geeft haar niet automatisch voorrang boven elk alternatief
Economische voorkeuren, kalibratiedoelen, entropiecriteria, hedgingdoelen of marktconventies kunnen een andere maat impliceren
Validatie moet ook de staarten omvatten
Controleer het momentdomein voor θ en θ+1, de normalisatie van de dichtheid, equivalente steun, de martingaalgelijkheid en het getransformeerde triplet
Kalibreer opnieuw over looptijden en regimes, want een stabiele θ in de steekproef kan instabiele extrapolatie van de staarten verbergen
Vergelijk optieprijzen en hedgefouten onder andere toelaatbare maten om de modelrisicokosten van de Esscher-keuze zichtbaar te maken
Veelgestelde vragen
Wat is de Esscher-transformatie in eenvoudige termen?
Ze creëert een nieuwe kanswet door grotere of kleinere uitkomsten exponentieel meer gewicht te geven en daarna opnieuw te normaliseren
Hoe wordt de Esscher-parameter gekozen voor optiewaardering?
Gewoonlijk wordt deze zo gekozen dat de verdisconteerde prijs van het gemodelleerde actief onder de getransformeerde maat een martingaal wordt
Bestaat een Esscher-transformatie altijd?
Nee. De vereiste exponentiële momenten moeten eindig zijn en de martingaalvergelijking kan geen toelaatbare oplossing hebben
Is de Esscher-martingaalmaat uniek?
De parameter kan uniek zijn binnen de Esscher-familie, terwijl er nog steeds andere equivalente martingaalmaten kunnen bestaan
Bronnen en verder lezen
Snelle check
De gids gelezen? Test jezelf met 3 vragen
Vraag 01
Welke uitspraak past het best bij deze gids — Exponentieel kantelen herweegt uitkomsten?
Kies een antwoord om de uitleg te zien
Optiewoordenlijst
The portion of premium above intrinsic value, reflecting remaining time, expected uncertainty, rates, dividends, and supply and demand.
Lees de uitgebreide gidsGammaAn estimate of how much delta may change for a small move in the underlying, all else equal; it often becomes more concentrated near expiration and near the money.
Lees de uitgebreide gids