Macaulay-, modified en effective duration: verschillen en rekenvoorbeeld

De vervaldatum is de contractuele datum waarop de hoofdsom naar verwachting wordt terugbetaald. Duration beschrijft onder bepaalde aannames de timing van kasstromen of de prijsgevoeligheid. Het is geen andere naam voor de vervaldatum en geen garantie wanneer een belegger het betaalde bedrag terugkrijgt.

Staat er op een scherm alleen “duration”, controleer dan of het om Macaulay, modified, effective, money duration of een andere maatstaf gaat. Noteer de obligatie of portefeuille, waarderingsdatum, het rendement of de curve, de samenstellingsconventie en de prijsbasis. CFA Institute onderscheidt rendementsmaatstaven met vaste kasstromen en een wijziging van het eigen obligatierendement van curvemaatstaven die herwaarderen op basis van een referentiecurve en onzekere kasstromen kunnen verwerken. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:cfaCurveBasedRiskMeasures2026}

Macaulay duration is de gemiddelde timing van geplande kasstromen, gewogen met hun contante waarde. Voor kasstroom CF_t op tijdstip t, prijs P en rendement y is het gewicht PV(CF_t)/P. Als P de som is van de contante waarden van alle gemodelleerde kasstromen, tellen de gewichten op tot één:

PV(CF_t) = CF_t / (1 + y/m)^(m×t)

D_Mac = Σ[t × PV(CF_t)] / P

Bij een couponobligatie is Macaulay duration meestal korter dan de looptijd, omdat coupons worden ontvangen voordat de hoofdsom wordt terugbetaald. Een zero-couponobligatie heeft maar één geplande kasstroom, waardoor de Macaulay duration onder de genoemde kasstroom- en disconteringsaannames gelijk is aan de resterende looptijd.

Dit is een gemiddelde timing in termen van contante waarde, geen voorspelling van de persoonlijke aanhoudperiode en geen garantie op het rendement van herbelegde coupons. Sommige immunisatieanalyses gebruiken deze maatstaf, maar vereisen aanvullende aannames over rendementsveranderingen, herbelegging en de verplichting die wordt afgestemd. FINRA benadrukt ook dat duration niet simpelweg de tijd tot vervaldatum betekent. {source:finraDurationExplainer}

Neem een hypothetische obligatie zonder ingebedde opties, met een nominale waarde van $1.000, een jaarlijkse coupon van 5%, nog drie jaar te gaan en een jaarlijks rendement tot vervaldatum van 4%. Ga uit van jaarlijkse betalingen, waardering direct na een coupondatum en jaarlijkse samengestelde rente. De geplande kasstromen zijn $50 na één jaar, $50 na twee jaar en $1.050 na drie jaar.

Verdisconteerd tegen 4% zijn de contante waarden ongeveer $48,08, $46,23 en $933,45; de volledige prijs is circa $1.027,75. Door elke contante waarde door die prijs te delen, ontstaan gewichten van ongeveer 4,68%, 4,50% en 90,82%. De laatste betaling bevat de hoofdsom, terwijl de eerste twee coupons het gemiddelde tijdstip naar voren halen.

De som van tijd maal gewicht is 1 × 4,68% + 2 × 4,50% + 3 × 90,82%, ongeveer 2,8615 jaar. Dat is korter dan de looptijd van drie jaar omdat een deel van de contante waarde uit eerdere coupons komt. De getoonde waarden zijn afgerond; gebruik de niet-afgeronde contante waarden voor een nauwkeurige berekening. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026}

Modified duration past Macaulay aan de opgegeven samenstellingsconventie aan. Voor een gewone obligatie met vaste kasstromen, een nominale jaarrente y en m samenstellingen per jaar geldt vaak D_mod = D_Mac / (1 + y/m). In het voorbeeld zijn er jaarlijkse betalingen, dus m=1 en 2,8615 / 1,04 is circa 2,7514 jaar.

Bij een kleine verandering van het eigen obligatierendement is de eerste-orde benadering van de procentuele prijsverandering ΔP/P ≈ −D_mod × Δy, waarbij Δy als decimaal wordt ingevuld. Een stijging van 1 basispunt is 0,0001, niet 0,01; 100 basispunten is 0,01. Bij een modified duration van 2,7514 betekent een stijging van het rendement met één procentpunt een lokale geschatte prijsdaling van 2,7514%, als de overige invoer gelijk blijft. Het minteken geeft in dit voorbeeld de lokale omgekeerde relatie weer.

Modified duration is de helling nabij het beginrendement, geen volledige herwaardering voor elke schokgrootte. Voor een bedrag in geld is ook de marktwaarde van de positie nodig. Een gebruikelijke eerste-orde DV01-grootte is marktwaarde × modified duration × 0,0001 voor een wijziging van één basispunt in het eigen obligatierendement. Tekenconventies verschillen en het bedrag is geen vaste verlieslimiet. CME onderscheidt deze procentuele gevoeligheid van de bedragen in dollars die DV01, BPV of VBP heten. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:cmeTreasuryRiskMeasurement}

Effective duration gebruikt prijzen uit volledige waarderingen onder rentescenario’s. Laat P₀ de beginprijs zijn, P₋ de prijs na een daling van de referentiecurve met Δr en P₊ de prijs na een even grote stijging. Het centrale verschil is D_eff = (P₋ − P₊) / (2 × P₀ × Δr), waarbij Δr als decimaal wordt uitgedrukt. De uitkomst wordt doorgaans in jaren geïnterpreteerd als procentuele prijsgevoeligheid voor de gedefinieerde curveschok.

De maatstaf is nuttig wanneer toekomstige kasstromen met de rente kunnen veranderen, zoals bij callable of putable obligaties en hypotheekobligaties. Het model kan in elk scenario verwachte uitoefening of vervroegde aflossing bijwerken en de prijs opnieuw berekenen. De uitkomst hangt daarom af van de referentiecurve, omvang en vorm van de schok, het model, volatiliteit, kasstroomaannames en waarderingsdatum. CFA Institute beschrijft effective duration voor curverisico met onzekere kasstromen; FINRA onderscheidt de maatstaf ook van Macaulay en modified bij obligaties met aflossingskenmerken. {source:cfaCurveBasedRiskMeasures2026} {source:finraDurationExplainer}

Effective duration is niet automatisch “nauwkeuriger”. De maatstaf beantwoordt een andere vraag: hoe verandert de gemodelleerde volledige prijs in een bepaald scenario van de referentiecurve? Als de kasstromen stabiel zijn en de vraag over het eigen rendement van de obligatie gaat, kan modified duration directer zijn. Geef bij een curveschok aan of die parallel is en welke curve wordt gebruikt; vermeld bij een optieobligatie ook het model dat de kasstromen opnieuw berekent.

We keren terug naar de obligatie met een nominale waarde van $1.000. Bij een rendement van 4% is de prijs ongeveer $1.027,75 en modified duration circa 2,7514. Een stijging van 100 basispunten geeft een lokale schatting van −2,7514%, oftewel −$28,28, tot ongeveer $999,47. Een daling van 100 basispunten geeft een lokale stijging van $28,28 tot circa $1.056,03.

Verdisconteer nu de geplande kasstromen opnieuw tegen het nieuwe rendement. Bij 5% is de obligatie $1.000 waard: ongeveer $27,75 of 2,70% lager. Bij 3% is de waarde circa $1.056,57: ongeveer $28,82 of 2,80% hoger. De stijging en daling zijn niet symmetrisch doordat de prijs-rendementsrelatie gekromd is. Duration alleen levert een lokale schatting; convexity helpt het tweede-ordeverschil bij een grotere beweging verklaren. Dit zijn hypothetische berekeningen met onveranderde kasstromen, jaarlijkse samenstelling en dezelfde waarderingsconventie; geen marktkoers of prognose. Zie convexity en obligatieprijsgevoeligheid.

De Macaulay- en modified-maatstaven in het voorbeeld zijn rendementsgebaseerd. Er is geen referentiecurve of model voor schokwaarderingen opgegeven, dus effective duration is niet berekend. Daarvoor moet de obligatie opnieuw worden gewaardeerd onder de vastgelegde curvescenario’s. Als de kasstromen veranderen, moeten aannames over uitoefening en vervroegde aflossing in beide scenario’s consistent zijn.

Gebruik Macaulay voor de gemiddelde timing, op basis van contante waarde, van geplande kasstromen. Gebruik modified duration voor de lokale procentuele prijsreactie op een kleine verandering van het eigen rendement van een obligatie met vaste kasstromen, met vermelding van de samenstellingsconventie. Gebruik effective duration als de referentiecurve verschuift en de kasstromen van rente kunnen afhangen. Geen van de maatstaven voorspelt de richting van de rente.

Portefeuilleaggregatie hangt meestal af van marktwaardewichten en de methodiek van de aanbieder. Eén effective duration vat een gedefinieerde brede curvebeweging samen, maar kan draaiingen en knikken verbergen; key-rate duration verdeelt de gevoeligheid over gekozen looptijden. Voor het bedrag per basispunt, zie DV01 en BPV. Kredietspread, liquiditeit, inflatie, valuta en opties kunnen aparte analyse vragen; duration van de referentierente meet niet alle obligatierisico’s.

Ook de obligatiekenmerken zijn van belang. In het standaardgeval van een vaste coupon zonder opties verhogen latere kasstromen bij gelijkblijvende overige factoren doorgaans de duration; een hogere coupon of yield verhoogt meestal het aandeel van eerdere betalingen in de contante waarde en verlaagt haar. Naarmate de vervaldatum dichterbij komt verandert het resterende kasstroomprofiel, dus duration is niet constant. Een calloptie kan de koersstijging bij dalende rente beperken. Een floating-rate note past de coupon periodiek aan en kan minder rentegevoelig zijn dan een vastrentende obligatie met vergelijkbare looptijd, maar spread, resetvertraging, floor en liquiditeit blijven risico’s. Dit zijn mechanismen onder aannames, geen universele rangschikking. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:finraDurationExplainer}

Twee bronnen kunnen met “duration” verschillende maten bedoelen. Noteer het instrument of de portefeuille, de waarderingsdatum, clean- of full-pricebasis, rendement of referentiecurve, samenstellingsfrequentie, omvang van de schok, parallelle of niet-parallelle beweging, optiemodel en of kasstromen vast blijven of opnieuw worden berekend. Voor geldbedragen moeten ook positieomvang en valuta overeenkomen. Als een invoer verschilt, licht dat toe voordat u direct vergelijkt.

Prijsgevoeligheid is ook niet hetzelfde als verwacht totaalrendement. Duration omvat niet alle bronnen van gerealiseerd rendement, zoals couponinkomen, herbelegging, kredietmigratie, spreadbewegingen, transactiekosten, belastingen of portefeuillewijzigingen. Het is een voorwaardelijke gevoeligheid vanaf een bepaald startpunt en binnen een model. Controleer methodiek en peildatum in het fondsblad of analysesysteem en raadpleeg prospectus of effectdocumentatie voor contractuele kenmerken. Een lage duration betekent niet dat het totale risico laag is en voorspelt geen toekomstige verliezen. {source:finraDurationExplainer} {source:cmeTreasuryRiskMeasurement}