Arrow–Debreu-toestandsprijzen uitgelegd
Begrijp effecten die afhankelijk zijn van een toestand, waarom toestandsprijzen verschillen van kansen en hoe kromming van optieprijzen een risiconeutrale dichtheid onthult
Direct antwoord
Een Arrow–Debreu-effect betaalt één eenheid in één gespecificeerde toekomstige toestand en nul in alle andere toestanden. De huidige toestandsprijs combineert tijdsdiscontering, fysieke waarschijnlijkheid en de waarde van vermogen in die toestand en is dus geen onbewerkte kans
Elementaire claims isoleren één toekomstige toestand
Stel dat toekomstige onzekerheid is verdeeld over elkaar uitsluitende toestanden. Een claim op toestand s betaalt één eenheid alleen als toestand s optreedt
Elke toestandafhankelijke uitbetaling X kan dan worden geschreven als een verzameling toestandswaarden X_s
Als alle elementaire claims worden verhandeld of kunnen worden gerepliceerd, vormen ze een basis voor het prijzen van elke uitbetaling in die eindige toestandsruimte
Toestandsprijzen waarderen volledige uitbetalingsvectoren
Laat q_s de prijs van vandaag zijn voor één eenheid in toestand s. De prijs van uitbetaling X is de som van q_s X_s over de toestanden
Lineariteit volgt uit het combineren van portefeuilles, terwijl positieve toestandsprijzen een gratis niet-negatieve uitbetaling in een mogelijke toestand voorkomen
De prijs van één risicovrije eenheid in elke toestand is de som van alle q_s, die gelijk is aan de relevante zero-couponobligatieprijs
Een toestandsprijs is geen fysieke waarschijnlijkheid
Als p_s de fysieke waarschijnlijkheid is en m_s de stochastische disconteringsfactor, dan is q_s = p_s m_s
Een zeldzame rampentoestand kan een hoge prijs per eenheid waarschijnlijkheid hebben, omdat vermogen dat in die toestand wordt geleverd bijzonder waardevol is
Door q_s door de obligatieprijs te delen krijg je een risiconeutrale waarschijnlijkheid, waarmee normalisatie wordt gescheiden van de oorspronkelijke contante toestandsprijs
Optiespreads benaderen toestandsclaims
Een krappe butterflyspread betaalt vooral wanneer de onderliggende waarde rond de middelste uitoefenprijs eindigt en benadert zo een smalle toestandafhankelijke claim
Als de afstand tussen uitoefenprijzen kleiner wordt, reconstrueert de tweede afgeleide naar de uitoefenprijs van een gladde Europese callprijscurve de verdisconteerde risiconeutrale dichtheid onder standaardaannames
Dit resultaat van Breeden–Litzenberger verbindt waarneembare kromming over uitoefenprijzen met toestandsprijzen, niet rechtstreeks met fysieke overtuigingen
Geen-arbitrage legt vormbeperkingen op
Callprijzen moeten dalen bij een hogere uitoefenprijs en convex blijven, omdat digitale claims en butterflyclaims geen negatieve prijzen kunnen hebben
Ook kalenderconsistentie en een correcte behandeling van forward, discontering, dividend en afwikkeling zijn vereist voordat je een oppervlak interpreteert
Overtredingen kunnen het gevolg zijn van verouderde quotes, bid-ask-ruis, discrete uitoefenprijzen, vervroegde uitoefening of echte inconsistentie in de invoer, in plaats van verhandelbare arbitrage
Onvolledige markten laten toestandsprijzen onbepaald
Als verhandelde uitbetalingen niet alle toestanden omvatten, kunnen veel vectoren met toestandsprijzen dezelfde waargenomen prijzen reproduceren
Grenzen voor een niet-verhandelde claim volgen uit portefeuilles die haar onderrepliceren of overrepliceren, maar voor één prijs is een ander criterium nodig
Meer opties over verschillende uitoefenprijzen vergroten de vertegenwoordigde ruimte van uitbetalingen, hoewel eindige en lawaaierige contracten niet automatisch een ideaal continuüm creëren
Extractie is een statistisch inverseprobleem
Echte optieketens zijn schaars, lawaaierig, asynchroon en beperkt tot een bereik van uitoefenprijzen. Tweede afgeleiden versterken die onvolkomenheden
Interpolatie, gladstrijken, extrapolatie van staarten, Amerikaanse uitoefening, rente- en dividendveronderstellingen kunnen de afgeleide dichtheid materieel veranderen
Valideer herprijzing, positiviteit, integratie tot de obligatieprijs, forwardconsistentie en gevoeligheid voor gladstrijken voordat je toestandsprijzen gebruikt
Veelgestelde vragen
Wat is een Arrow–Debreu-effect?
Het is een voorwaardelijke claim die één eenheid uitbetaalt als één gespecificeerde toekomstige toestand optreedt en nul in elke andere toestand
Zijn toestandsprijzen hetzelfde als waarschijnlijkheden?
Nee. Ze bevatten zowel waarschijnlijkheid als de waarde van vermogen in elke toestand, plus tijdsdiscontering
Hoe onthullen opties toestandsprijzen?
De tweede afgeleide van een gladde Europese callprijscurve naar de uitoefenprijs komt overeen met een verdisconteerde risiconeutrale dichtheid
Waarom kunnen geschatte toestandsprijzen instabiel zijn?
Ze vereisen differentiatie van schaarse, lawaaierige prijzen en hangen daardoor sterk af van interpolatie, staarten, carry en de behandeling van uitoefening
Bronnen en verder lezen
Snelle check
De gids gelezen? Test jezelf met 3 vragen
Vraag 01
Welke uitspraak past het best bij deze gids — Elementaire claims isoleren één toekomstige toestand?
Kies een antwoord om de uitleg te zien
Optiewoordenlijst
A family of reference-density corrections expressed with cumulants and Hermite polynomials; Edgeworth orders terms asymptotically, while Gram–Charlier is a formal series.
Lees de uitgebreide gidsExtrinsic valueThe portion of premium above intrinsic value, reflecting remaining time, expected uncertainty, rates, dividends, and supply and demand.
Lees de uitgebreide gidsGammaAn estimate of how much delta may change for a small move in the underlying, all else equal; it often becomes more concentrated near expiration and near the money.
Lees de uitgebreide gids