Ujian Nisbah Varians: Random Walk, Horizon dan Dagangan

Katakan \(P_t\) ialah harga yang diperhatikan dan \(x_t=\ln(P_t)\) ialah harga lognya. Pulangan log satu tempoh ialah \(r_t=x_t-x_{t-1}\). Pulangan log \(q\)-tempoh menjumlahkan \(q\) pulangan satu tempoh yang berturutan. Jika increment itu tidak berkorelasi dan variansnya stabil, varians jumlah tersebut meningkat mengikut kadar \(q\).

Nisbah varians populasi ialah

\[ \operatorname{VR}(q)=\frac{\operatorname{Var}(r_t+r_{t-1}+\cdots+r_{t-q+1})}{q\operatorname{Var}(r_t)}. \]

Di bawah syarat penskalaan varians itu, \(\operatorname{VR}(q)=1\). Prosedur Lo–MacKinlay menukarkan hubungan ini kepada statistik sampel dan ujian terhadap sekatan random walk. Nilai “satu” ialah penanda aras penskalaan varians yang tersirat oleh increment tidak berkorelasi; ia tidak bermaksud harga lancar atau boleh diramal. Aplikasi asal mereka menolak spesifikasi random walk dalam data ekuiti A.S. sejarah, sambil menegaskan bahawa penolakan sahaja tidak membuktikan model harga yang kembali kepada min.

Bagi pulangan satu tempoh yang pegun dengan autokorelasi \(\rho_j\) pada lag \(j\), nisbah populasi yang sama boleh ditulis sebagai

\[ \operatorname{VR}(q)=1+2\sum_{j=1}^{q-1}\left(1-\frac{j}{q}\right)\rho_j. \]

Setiap autokorelasi menerima pemberat yang semakin kecil apabila lag bertambah. Oleh itu, nisbah ini merumuskan secara berwajaran satu set korelasi bersiri sehingga horizon \(q-1\); nilainya bukan autokorelasi pada satu lag tertentu.

Bagi \(q=4\), bayangkan proses pulangan hipotetikal dengan \(\rho_1=0.10\), \(\rho_2=0.04\) dan \(\rho_3=0\). Maka

\[ \operatorname{VR}(4)=1+2\left(\frac{3}{4}\times0.10+\frac{2}{4}\times0.04\right)=1.17. \]

Nilai melebihi satu selaras dengan kebergantungan berwajaran positif merentasi horizon tersebut. Jika dua autokorelasi pertama masing-masing \(-0.10\) dan \(-0.04\), sementara yang ketiga kekal sifar, nisbahnya ialah \(0.83\). Ini pengiraan populasi hipotetikal. Anggaran sampel yang diperhatikan boleh berbeza akibat variasi pensampelan, turun naik volatiliti dan pelarasan sampel terhingga dalam penganggar.

Corak autokorelasi yang berlainan boleh menghasilkan nisbah sama pada satu horizon. Sumbangan positif dan negatif boleh saling mengimbangi, jadi nisbah tepat satu tidak mensyaratkan setiap autokorelasi yang disertakan sama dengan sifar. Melihat beberapa horizon yang ditetapkan terlebih dahulu boleh mendedahkan corak berbeza, tetapi hasil yang diuji bersama memerlukan inferens bersama.

Ujian ini biasanya digunakan pada harga log berselang sama atau beza pertamanya. Jika pemerhatian ialah harga penutup harian, \(q=5\) merujuk kepada pulangan lima sesi dagangan, bukannya seminggu kalendar dengan bilangan sesi dagangan berbeza. Sesi yang hilang, jurang semalaman dan cap masa tidak sekata mengubah maksud “satu tempoh”. Nyatakan kalendar pasaran dan sama ada harga merangkumi agihan atau tindakan korporat lain.

Menggunakan pulangan mudah dan bukannya pulangan log ialah pilihan pemodelan, bukan sekadar menukar label bagi semua horizon. Pulangan log boleh dijumlahkan tepat mengikut masa; pulangan mudah berganda secara kompaun. Bagi perubahan kecil, nilainya mungkin hampir sama, tetapi takrif yang dipilih perlu sepadan dengan soalan dan kekal konsisten dalam contoh, penganggaran dan ujian balik. Jangan gunakan formula pada aras harga seolah-olah ia siri pulangan.

Kebanyakan pelaksanaan membentuk pulangan \(q\)-tempoh bertindih supaya setiap pemerhatian yang tersedia menyumbang kepada anggaran. Ini menambah bilangan pemerhatian agregat, tetapi tetingkap bersebelahan berkongsi banyak pulangan satu tempoh dan tidak saling bebas. Ralat piawai ujian mengambil kira pembentukan ini di bawah andaian yang dikekalkan; menganggap pulangan bertindih sebagai bebas akan mengecilkan ketidakpastian.

Katakan varians pulangan satu sesi bagi aset hipotetikal ialah \(0.0001\), bersamaan sisihan piawai satu sesi sebanyak 1%. Jika increment tidak berkorelasi, varians pulangan empat sesi ialah \(4\times0.0001=0.0004\), maka sisihan piawainya 2% dan nisbahnya \(0.0004/(4\times0.0001)=1\).

Sekarang andaikan varians empat sesi yang dianggarkan ialah \(0.000468\), manakala anggaran satu sesi kekal \(0.0001\). Nisbah sampel ialah \(0.000468/(4\times0.0001)=1.17\). Pengiraan itu menerangkan perbandingan serakan merentasi horizon yang dipilih. Ia tidak bermaksud pulangan jangkaan 17% lebih tinggi, pulangan esok berkemungkinan 17% lebih positif, atau posisi empat sesi mempunyai pulangan jangkaan 17%.

Untuk membuat dakwaan inferens, bandingkan nisbah anggaran dengan taburan ujian dan anggaran ketidakpastiannya. Nisbah hampir satu masih boleh berlaku apabila aspek lain proses harga melanggar model random walk sepenuhnya. Nisbah yang jauh daripada satu juga mungkin tidak berbeza secara statistik daripada satu dalam sampel bising atau pendek. Asingkan anggaran, statistik ujian, nilai-p dan tafsiran ekonomi.

Statistik homoskedastik Lo–MacKinlay klasik menyeragamkan \(\widehat{\operatorname{VR}}(q)-1\) menggunakan varians asimptotik yang diterbitkan di bawah andaian increment bervarians malar. Jika volatiliti bersyarat pulangan berubah, ralat piawai itu boleh memberikan saiz ujian yang tersasar. Lo dan MacKinlay turut membangunkan anggaran varians konsisten-heteroskedastisiti untuk statistik nisbah varians.

“Konsisten-heteroskedastisiti” mempunyai skop tertentu: di bawah andaian ujian, ia melaraskan inferens bagi corak perubahan varians pulangan yang lebih luas. Ia tidak membaiki siri harga yang salah, kebergantungan pada setiap horizon yang mungkin, perubahan struktur, sebut harga lapuk atau sampel yang terlalu pendek. Sesetengah perisian melabelkan dua pilihan itu dengan simbol seperti \(Z\) dan \(Z^*\); semak dokumentasinya untuk mengetahui hipotesis nol dan formula ralat piawai yang digunakan.

Kajian sampel terhingga tahun 1989 mendapati prestasi bergantung pada hipotesis nol dan alternatif yang dikaji. Dalam simulasi yang diperiksa, penulis melaporkan kebolehpercayaan lebih baik di bawah hipotesis nol random walk heteroskedastik berbanding beberapa ujian lain. Itu bukan jaminan sejagat bagi setiap sampel atau pelaksanaan. Bagi sampel kecil, bootstrap atau prosedur sampel terhingga lain mungkin berguna, tetapi reka bentuk pensampelan semula juga perlu mengekalkan ciri kebergantungan dan volatiliti yang berkaitan dengan soalan.

Ujian pada satu \(q\) bertanya sama ada sekatan penskalaan varians dipenuhi pada satu horizon terpilih. Jika \(q\) dipilih selepas meneliti banyak horizon, nilai-p yang dilaporkan tidak mengambil kira pencarian itu. Mencuba \(q=2,4,8,16\) lalu hanya mengetengahkan hasil paling signifikan meningkatkan kemungkinan positif palsu.

Prosedur nisbah varians bersama menguji satu set horizon yang ditetapkan terlebih dahulu dan melaraskan keputusan bagi perbandingan berbilang. Chow dan Denning membangunkan satu ujian berbilang sedemikian kerana keputusan berasingan tanpa pelarasan bagi banyak nisbah individu boleh meningkatkan kadar ralat Jenis I keseluruhan dengan ketara. Keputusan bersama merujuk kepada keluarga horizon yang diuji; ia tidak menerangkan lag, mekanisme atau peserta pasaran yang menghasilkan penyimpangan.

Pilih horizon berdasarkan kekerapan pensampelan dan soalan kajian. Perbandingan sehari, seminggu dan sebulan mungkin berguna, tetapi setiap satu mempunyai set maklumat dan struktur pulangan bertindih yang berbeza. Laporkan seluruh set yang diuji, bukan horizon paling memihak sahaja, dan bezakan imbasan penerokaan daripada ujian pengesahan.

Nisbah anggaran melebihi satu selaras dengan kebergantungan bersiri berwajaran positif pada lag yang dipilih. Nilai di bawah satu selaras dengan kebergantungan berwajaran negatif pada lag tersebut. Kedua-dua tanda itu tidak mengenal pasti momentum, pembalikan kepada min, pelarasan harga tertangguh, kesan inventori, lantunan bida-tawar, dagangan tak serentak atau proses volatiliti secara unik.

Khususnya, \(\operatorname{VR}(q)<1\) tidak membuktikan aras harga itu pegun. Siri boleh mempunyai nisbah di bawah satu pada horizon tertentu tetapi masih mengandungi trend stokastik. Sebaliknya, penolakan sekatan random walk tidak dengan sendirinya membuktikan alternatif pegun yang kembali kepada min; Lo dan MacKinlay dengan jelas menyatakan bahawa penolakan dalam data ekuiti yang dikaji tidak menyokong kesimpulan tersebut.

Inferens juga bergantung pada objek yang diuji: pulangan, harga log, pulangan berlebihan atau siri tertransformasi yang lain. Hasil bagi pulangan penutup-ke-penutup harian tidak secara automatik terpakai pada sebut harga intrahari atau alam semesta aset yang berbeza. Nyatakan objek dan tafsirannya dengan khusus.

Lantunan bida-tawar boleh menghasilkan kebergantungan negatif jangka pendek dalam pulangan harga transaksi walaupun proses nilai ekonomi yang lebih perlahan tidak berbalik. Sebut harga sekuriti tidak cair mungkin dikemas kini secara tidak serentak, dan harga penutup di bursa berbeza mungkin menangkap tetingkap maklumat yang berlainan. Ciri ini boleh paling kuat mempengaruhi horizon terpendek. Semak kualiti sebut harga, aktiviti dagangan, penjajaran cap masa dan kepekaan terhadap selang pensampelan lebih perlahan sebelum menamakan corak itu anomali pasaran.

Pengelompokan volatiliti mempengaruhi ralat piawai walaupun tanda pulangan atau arasnya tidak menunjukkan corak arah yang stabil. Perubahan struktur pada min, volatiliti, waktu dagangan atau komposisi pasaran boleh menyebabkan satu nisbah seluruh sampel mencampurkan rejim berbeza. Periksa kestabilan subtempoh dan jangan memilih hanya tetingkap yang menyokong tafsiran pilihan.

Mencari merentasi aset, kekerapan, horizon, penapis dan titik hujung sampel menimbulkan masalah lain: pemilihan berasaskan hingar. Nisbah varians yang luar biasa selepas pencarian luas bukan ujian hipotesis yang belum disentuh. Isytiharkan horizon utama terlebih dahulu atau gunakan kaedah bersama atau pensampelan semula yang sesuai, kemudian sahkan corak yang ditemui pada data kronologi kemudian.

Ujian nisbah varians merumuskan kebolehubahan pulangan merentasi horizon. Ia tidak menentukan arah, kemasukan, keluar, henti rugi, saiz posisi, tempoh pegangan atau sama ada isyarat tersedia sebelum pelaksanaan. Corak kebergantungan yang stabil pun mungkin terlalu kecil untuk menampung fi, spread, kesan pasaran, pendanaan, pinjaman sekuriti dan kadar pusing ganti.

Untuk kajian dagangan, tetapkan isyarat dan masa keputusan sebelum melihat pulangan masa depan. Anggarkan parameter pada tetingkap pembentukan, bekukannya, kemudian nilai pada pemerhatian yang lebih lewat. Jika hasil ditemui selepas mencuba banyak sekuriti atau horizon, simpan tempoh ujian yang benar-benar belum digunakan atau gunakan kaedah yang mengambil kira pencarian itu. Bandingkan hasil selepas kos dengan penanda aras menggunakan pengisian yang realistik, bukan ramalan pulangan teori sahaja.

Gunakan nisbah varians sebagai satu diagnostik bersama plot, pemeriksaan autokorelasi, ujian punca unit dan analisis kestabilan. Penyimpangan penskalaan varians boleh mendorong pembinaan model yang lebih khusus, tetapi model itu memerlukan andaian sendiri dan bukti luar sampel. Ujian ini ialah huraian ringkas bagi sekatan momen, bukan bukti bahawa wujud kelebihan dagangan.

Nyatakan takrif harga, transformasi pulangan, kekerapan pemerhatian, tarikh sampel, bilangan pemerhatian yang boleh digunakan dan sama ada pulangan bertindih. Laporkan setiap horizon \(q\) yang diuji, nisbah varians sampel, versi ralat piawai, statistik ujian, nilai-p, aras keertian dan sebarang pelarasan bersama bagi banyak horizon.

Terangkan cara pemerhatian hilang, tindakan korporat, penutupan pasaran dan cap masa dikendalikan. Nyatakan sama ada inferens teguh terhadap volatiliti, bootstrap, subtempoh atau selang pensampelan alternatif mengubah hasil. Bagi aplikasi dagangan, asingkan sampel statistik daripada tempoh penilaian dan dedahkan kos, masa pelaksanaan, peraturan pemilihan serta semua aset dan horizon yang dicuba.

Lo dan MacKinlay memperkenalkan ujian spesifikasi nisbah varians serta mengkaji saiz dan kuasa sampel terhingganya. Chow dan Denning menerangkan sebab ujian nisbah varians berbilang memerlukan kawalan saiz bersama90051-6). Untuk konsep berkaitan, lihat panduan tentang kepegunan dan punca unit, kointegrasi Engle–Granger dan ujian rank kointegrasi Johansen.