Perlukah Sharpe bulanan didarab √12? Kesan korelasi bersiri

Sharpe satu tempoh ialah purata pulangan melebihi kadar bebas risiko bagi tempoh itu, dibahagi sisihan piawai pulangan untuk tempoh yang sama: SR₁ = μ/σ. Bagi data bulanan, kadar bebas risiko juga perlu sepadan dengan tempoh bulanan. Jangan tolak kadar tahunan secara langsung daripada pulangan bulanan.

Nisbah ini meringkaskan sampel pulangan yang diperhatikan mengikut definisi yang digunakan. Ia bukan kebarangkalian untuk untung, ukuran risiko yang menyeluruh atau jaminan prestasi masa hadapan. Menukar pulangan kasar kepada bersih, atau mengubah cara dividen dan kos pembiayaan dikira, juga boleh mengubah nilainya.

Kaedah lazim untuk menukar Sharpe satu tempoh kepada q tempoh ialah SR_q = √q × SR₁. Andaian asasnya termasuk min dan varians yang stabil serta tiada autokorelasi pulangan pada sela yang diliputi. Pulangan bebas dan bertaburan secara serupa (IID) ialah syarat mencukupi yang biasa digunakan, tetapi andaian itu lebih kuat daripada sekadar korelasi sifar.

Dalam penerangan William Sharpe tentang nisbah Sharpe, syarat korelasi sifar menjadi asas kepada kaedah punca kuasa dua. Jika pulangan bulanan berkorelasi secara bersiri, sisihan piawai jumlahnya lazimnya bukan sisihan piawai bulanan didarab √q. Maka, pendaraban mudah itu tidak terpakai secara automatik.

Katakan pulangan berlebihan berkala ialah xₜ, varians ialah γ₀ dan kovarians pada sela k ialah γₖ = Cov(xₜ, xₜ₋ₖ). Korelasi pada sela itu ditakrifkan sebagai ρₖ = γₖ/γ₀. Dengan kovarians pegun dan penjumlahan aritmetik q pulangan berlebihan berkala:

Var(Σₜ₌₁ᵠ xₜ) = qγ₀ + 2Σₖ₌₁ᵠ⁻¹(q−k)γₖ

Daripada hubungan ini terbit pembetulan pengagregatan masa Andrew Lo: SR_q = √q × SR₁ / √(1 + 2Σₖ₌₁ᵠ⁻¹(1−k/q)ρₖ). Pemberat bagi sela lebih jauh semakin kecil kerana terdapat kurang pasangan pemerhatian yang berjauhan dalam tempoh q.

Jika korelasi pada sela yang berkaitan positif, penyebut pembetulan lazimnya lebih besar daripada satu; kaedah √q sahaja biasanya melebihkan Sharpe yang telah dibetulkan. Korelasi negatif boleh menyebabkan kaedah mudah meremehkannya. Ini kesan matematik di bawah rangka andaian tersebut, bukan penilaian terhadap mutu strategi.

Untuk ilustrasi sahaja, andaikan purata pulangan berlebihan bulanan ialah 0.4% dan sisihan piawai bulanan ialah 2%. Maka SR₁ = 0.4% ÷ 2% = 0.20. Jika korelasi diabaikan, anggaran tahunan mudah ialah 0.20 × √12 ≈ 0.6928.

Sekarang andaikan model AR(1) hipotesis dengan ρ₁ = 0.25 dan korelasi seterusnya ρₖ = 0.25ᵏ. Dalam contoh ini, faktor pembetulan ialah √(1 + 2Σₖ₌₁¹¹(1−k/12)×0.25ᵏ) ≈ 1.262. Jadi Sharpe tahunan yang dibetulkan ialah 0.6928 ÷ 1.262 ≈ 0.549. Nilai 0.25ᵏ pada sela seterusnya terhasil daripada andaian AR(1) contoh ini; bukan setiap sela mempunyai korelasi 0.25.

Ini pengiraan hipotesis, bukannya ramalan atau saranan dagangan. Hasilnya bergantung pada penjumlahan aritmetik pulangan berlebihan bulanan serta andaian model yang dinyatakan.

Pulangan yang berterusan atau berbalik arah mungkin mencerminkan tingkah laku ekonomi sebenar. Namun, pulangan harian bagi strategi dengan tempoh pegangan berbilang hari boleh berkongsi pendedahan yang sama apabila tempoh pegangan bertindih. Pulangan yang bertindih itu bukan pemerhatian bebas.

Harga lama, penilaian aset tidak cair atau kaedah penandaan nilai yang melicinkan perubahan juga boleh menghasilkan siri yang kelihatan licin. Peraturan isyarat, pengimbangan semula dan cara pulangan dibina turut boleh mewujudkan kebergantungan masa. Sebelum membetulkan, kenal pasti sama ada korelasi itu berpunca daripada ekonomi strategi, artifak pengukuran atau takrif pulangan.

Gunakan takrif pulangan, kekerapan sampel dan kadar bebas risiko yang sepadan secara konsisten. Nyatakan sama ada hasil adalah kasar atau selepas kos. Layan leveraj, kos pembiayaan, dividen dan kadar pembiayaan kontrak kekal kripto secara seragam; jangan masukkan kos pada satu siri tetapi tinggalkannya pada siri yang dibandingkan.

Formula kovarians di atas terpakai pada penjumlahan aritmetik q pulangan berlebihan berkala di bawah andaian yang dinyatakan. Jika pulangan tahunan dikira secara kompaun daripada nilai portfolio, jangan campurkan ukuran itu secara senyap dengan jumlah aritmetik. Catat kaedah pengagregatan, pelaburan semula, pemberat dan aliran tunai luar supaya perbandingan boleh diulang.

Autokorelasi dianggarkan daripada sampel, dan anggaran bagi sela panjang boleh bising, terutamanya apabila bilangan bulan sedikit. Jangan mengandaikan AR(1) hanya kerana korelasi sela pertama muncul. Periksa beberapa sela, carta pulangan dan cara pemerhatian dibentuk.

Laporkan panjang sampel, kaedah anggaran, sela yang digunakan serta kepekaan Sharpe terlaras kepada pilihan yang munasabah. Apabila membandingkan strategi, tunjukkan ketidakpastian atau selang keyakinan jika tersedia. Jangan anggap perbezaan perpuluhan kecil sebagai dapatan yang pasti.

Pembetulan pengagregatan masa tidak menghapuskan pengintipan data atau pemilihan strategi terbaik selepas banyak percubaan. Ia juga tidak menangani perubahan rejim pasaran, risiko ekor, leveraj, kecairan atau kos pelaksanaan. Sharpe terlaras pun boleh menyembunyikan kerugian besar yang jarang berlaku.

Sharpe yang lebih tinggi selepas pembetulan tidak bermakna prestasi masa depan akan lebih baik atau strategi lebih selamat. Asingkan ukuran pulangan berbanding turun naik daripada ujian keteguhan, kebolehlaksanaan pelaksanaan dan risiko modal.

Catat kekerapan data, takrif pulangan berlebihan, kadar bebas risiko yang sepadan, tempoh dan saiz sampel. Paparkan korelasi bagi sela berkaitan serta andaian penukaran; jelaskan sama ada anda menggunakan kaedah √q mudah atau pembetulan Lo.

Nyatakan sama ada pulangan bersih daripada yuran dan pembiayaan, serta cara leveraj, dividen, pengkompaunan dan aliran tunai luar dikendalikan. Sertakan analisis kepekaan atau ketidakpastian dan jangan menyebut anggaran sejarah sebagai ramalan. Bacaan berkaitan: purata pulangan aritmetik berbanding geometri, susut nilai maksimum dan peratus pemulihan, serta pertukaran bias-varians dan terlebih suai model kewangan.

Makalah Andrew Lo, The Statistics of Sharpe Ratios, menghuraikan kesan kebergantungan bersiri pada statistik Sharpe dan sebab hasil penganualan boleh berbeza.