Semivarians Terealisasi: Mengukur Volatiliti Kenaikan dan Penurunan

Bagi pulangan log intrahari \(r_i\) yang diperhatikan dalam satu sela tetap, varians terealisasi ialah jumlah kuasa dua pulangan, \(RV=\sum_i r_i^2\). Pengkuasaan menjadikan pergerakan menaik dan menurun kedua-duanya positif serta memberi pengaruh lebih besar kepada pergerakan besar. Statistik ini mengukur variasi terkumpul sepanjang sela, tetapi tidak menunjukkan sama ada variasi itu datang daripada pergerakan naik atau turun.

Semivarians terealisasi mengekalkan tanda sebelum pengkuasaan. Komponen positif mengumpulkan kuasa dua pulangan melebihi sifar, manakala komponen negatif mengumpulkan kuasa dua pulangan di bawah sifar. Dengan pemerhatian dan konvensyen yang sama, jumlah kedua-duanya sama dengan varians terealisasi. Pulangan sifar tidak menyumbang kepada mana-mana komponen. Kesamaan ini ialah identiti perakaunan, bukannya bukti bahawa setiap bahagian merupakan punca risiko kausal yang berasingan.

Pemisahan tanda berguna untuk soalan kajian tentang variasi berarah—contohnya, sama ada variasi pulangan negatif terdahulu memberikan maklumat berbeza tentang volatiliti masa depan berbanding variasi pulangan positif. Barndorff-Nielsen, Kinnebrock dan Shephard memperkenalkan semivarians terealisasi sebagai ukuran variasi menurun frekuensi tinggi. Kertas kerja mereka menghuraikan hubungannya dengan variasi kuadratik dan lonjakan negatif.

Bagi pulangan \(r_1,\ldots,r_n\), takrifkan

\[ RS^+ = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i>0), \qquad RS^- = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i<0), \]

dengan \(\mathbf{1}(\cdot)\) bernilai satu apabila syaratnya benar dan sifar jika tidak. Maka

\[ RV = \sum_{i=1}^{n}r_i^2 = RS^+ + RS^-. \]

Sesetengah kertas menggunakan label atau superskrip yang berlainan. Laporan perlu menyatakan istilah yang merujuk kepada pulangan positif dan yang merujuk kepada pulangan negatif. Formula di atas menggunakan pulangan tidak berpusat dengan ambang sifar; purata sampel, pulangan sasaran dan kadar bebas risiko tidak ditolak. Semivarians sampel yang dikira berasaskan sasaran atau purata ialah statistik lain.

Unitnya ialah unit pulangan kuasa dua. Jika pulangan dinyatakan dalam mata asas, unit setiap komponen ialah bp². Jika pulangan log perpuluhan digunakan, hasilnya dalam kuasa dua pulangan perpuluhan. Penukaran daripada peratus kepada mata asas mendarab nilai angka ukuran kuasa dua sebanyak 10,000, jadi unit mesti dicatat bersama angka.

Andaikan satu sesi hipotetikal mempunyai enam pulangan dalam mata asas:

\[ (2,-1,3,-4,0,-2)\;\text{bp}. \]

Pulangan positif menyumbang \(2^2+3^2=13\,\text{bp}^2\). Pulangan negatif menyumbang \((-1)^2+(-4)^2+(-2)^2=21\,\text{bp}^2\). Pulangan sifar tidak menyumbang apa-apa. Maka varians terealisasi ialah

\[ RV=13+21=34\,\text{bp}^2. \]

Dalam contoh kecil ini, bahagian negatif ialah \(21/34\), kira-kira 61.8%, dan bahagian positif kira-kira 38.2%. Angka ini ialah bahagian daripada jumlah rekaan, bukannya kebarangkalian kerugian masa depan atau anggaran ketaksimetrian jangka panjang yang stabil. Enam pulangan terlalu sedikit untuk inferens. Pengiraan ini hanya menyemak definisi dan aritmetik.

Panduan volatiliti terealisasi menerangkan jumlah kuasa dua pulangan tanpa pemisahan. Panduan variasi bipower menjawab soalan lain: menganggarkan variasi berterusan apabila mungkin terdapat lonjakan yang jarang. Semivarians berarah dan variasi teguh lonjakan boleh dikaji bersama, tetapi satu tidak menggantikan yang lain.

Jika log harga terpendam mengikuti semimartingal berterusan dan pensampelan menjadi semakin rapat di bawah syarat keteraturan yang berkenaan, semivarians pulangan positif dan negatif masing-masing menumpu kepada separuh variasi kuadratik berterusan. Dalam keadaan itu, jumlah sampel mengikut tanda masih boleh berbeza walaupun variasi berterusan asas tiada pemisahan arah yang berterusan; rawak pensampelan turut berperanan.

Apabila lonjakan berlaku, kuasa dua saiz lonjakan dimasukkan ke komponen positif atau negatif mengikut tandanya. Ini mengekalkan maklumat yang dibuang oleh jumlah varians terealisasi, tetapi bukan bermaksud setiap pulangan negatif ialah lonjakan atau setiap pulangan positif tidak berbahaya. Pergerakan berterusan yang besar dan lonjakan kedua-duanya boleh menghasilkan pulangan kuasa dua yang besar. Tanda mengelaskan perubahan yang diperhatikan, bukannya punca ekonominya.

Rajah konsep di bawah mengasingkan kenaikan positif dan negatif kepada dua kumpulan visual. Ia bukan carta data, keputusan ujian atau dakwaan bahawa proses asas mempunyai bias arah yang berterusan.

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: positive and negative return increments feed separate collections of squared-magnitude tiles, while their combined area echoes total realized variation. No measured data or market direction is implied. -->

Semivarians terealisasi boleh digunakan sebagai peramal berasingan dalam model volatiliti masa depan. Dalam kajian S&P 500 dan saham individu, Patton dan Sheppard melaporkan bahawa variasi pulangan negatif terdahulu mempunyai kaitan lebih kuat dengan volatiliti masa depan berbanding variasi pulangan positif dalam sampel dan spesifikasi mereka. Itu ialah dapatan empirikal daripada reka bentuk tersebut, bukannya hukum sejagat pasaran atau jaminan strategi baharu akan meramal dengan baik.

Untuk membuat dakwaan ramalan, nyatakan sasaran dan ufuk ramalan, bandingkan dengan penanda aras yang sesuai dan nilai di luar sampel. Perbezaan \(RS^-\) dan \(RS^+\) pada satu hari bersifat deskriptif dan tidak membuktikan kuasa ramalan. Regresi juga mungkin perlu mengambil kira kegigihan volatiliti, ufuk bertindih, ketidakpastian parameter dan pemilihan data. Nilai ralat ramalan menggunakan fungsi kerugian yang sepadan dengan keputusan.

Sebagai peluasan berbilang pemboleh ubah, Bollerslev, Li, Patton dan Quaedvlieg membangunkan semikovarians terealisasi yang menguraikan kovarians terealisasi mengikut tanda pasangan pulangan frekuensi tinggi. Makalah Econometrica mereka menerangkan mengapa komponen bertanda sama dan berlainan boleh membawa maklumat yang berbeza. Pemisahan positif/negatif univariat lebih ringkas dan tidak patut dipersembahkan sebagai penguraian kovarians penuh atau risiko portfolio.

Istilah “semivarians menurun” digunakan untuk lebih daripada satu takrif. Ukuran terealisasi di sini mengkuasa duakan pulangan frekuensi tinggi di bawah sifar. Statistik menurun berasaskan sasaran pula mengkuasa duakan pulangan di bawah ambang yang dipilih, lazimnya sasaran atau pulangan minimum yang boleh diterima. Pengiraan sampel juga boleh memusatkan pemerhatian pada purata. Takrif ini menjawab soalan berbeza dan boleh menghasilkan nilai berlainan daripada siri pulangan yang sama.

Kedua-dua semivarians terealisasi bukan ukuran Value-at-Risk atau Expected Shortfall. VaR ialah kuantil bagi taburan kerugian dan ufuk tertentu; Expected Shortfall merumuskan kerugian melebihi kuantil mengikut konvensyen yang dinyatakan. Jumlah kuasa dua pulangan negatif intrahari tidak mempunyai tafsiran tersebut. Ia juga bukan ukuran susut nilai puncak-ke-lembah yang lengkap kerana susut nilai bergantung pada urutan dan laluan pulangan.

Jika carta atau model melabel \(RS^-\) sebagai “risiko menurun”, takrifkan istilah itu dengan jelas. Nyatakan sama ada pulangan diukur daripada sifar atau sasaran, sela pensampelan yang digunakan, dan sama ada ia statistik selang, input ramalan atau ukuran portfolio. Panduan volatiliti GARCH membincangkan dinamik varians bersyarat, manakala semivarians terealisasi memberikan ukuran frekuensi tinggi berarah yang mungkin dipertimbangkan sebagai input.

Pemisahan tanda bergantung pada urutan pulangan yang diperhatikan. Pensampelan lebih kerap boleh menambah lantunan bida-tawar, harga diskret, sebut harga lapuk dan kesan cap masa. Perubahan harga kecil yang direkodkan boleh bertukar tanda apabila proksi harga atau grid pensampelan berubah. Hingar mikrostruktur boleh mengubah magnitud kuasa dua dan menentukan bahagian yang menerima sesuatu pulangan. Identiti \(RV=RS^++RS^-\) tetap benar bagi siri yang dipilih, tetapi tidak mengesahkan reka bentuk pensampelan.

Untuk perbandingan teguh, dokumentasikan medan harga, sela pensampelan, sempadan sesi, pengendalian pulangan sifar, peraturan pencilan dan sama ada pulangan antara aset disegerakkan. Semak kepekaan merentas pilihan pensampelan yang boleh dipertahankan. Jika pengenalpastian lonjakan atau keteguhan terhadap hingar ialah persoalan utama, gunakan penganggar atau ujian yang direka untuk tujuan itu dan bukannya menganggap pemisahan tanda sebagai pembetulan. Panduan volatiliti terealisasi two-scale menerangkan satu kaedah pembetulan hingar yang lain.

Inferens statistik juga memerlukan taburan pensampelan atau reka bentuk pensampelan semula yang sesuai. Komponen positif dan negatif datang daripada laluan yang sama dan mungkin saling bergantung. Tetingkap bertindih boleh menambah kebergantungan. Selang keyakinan atau perbandingan ramalan perlu mencerminkan ciri tersebut; membandingkan dua anggaran titik sahaja tidak menguji sama ada peranan ramalannya berbeza.

Laporan yang jelas menyatakan siri pulangan aset atau portfolio, tetingkap pemerhatian, takrif pulangan, grid pensampelan dan unit. Nyatakan formula \(RS^+\) dan \(RS^-\), pastikan jumlahnya menghasilkan varians terealisasi, serta terangkan cara nilai sifar dan pemerhatian hilang dikendalikan. Jika ukuran digunakan dalam model ramalan, laporkan ufuk, penanda aras, tempoh penilaian dan fungsi kerugian.

Jangan terus menukar semivarians terealisasi kepada volatiliti tahunan tanpa menyatakan andaian pengagregatan. Semivarians harian boleh dijumlahkan merentas hari untuk menghasilkan jumlah tahunan deskriptif di bawah konvensyen tertentu, tetapi punca kuasa duanya tidak secara automatik menjadi sisihan piawai menurun dengan taburan yang diketahui. Pengannualan tidak membaiki input harga berat sebelah, pensampelan jarang atau kesan pemilihan.

Kegunaan utamanya ialah pengukuran berdisiplin: kekalkan arah setiap pulangan yang diperhatikan sambil menggunakan pemberat kuasa dua seperti dalam variasi terealisasi. Hasilnya boleh mendedahkan corak yang wajar diuji. Ia tidak mengenal pasti punca dengan sendirinya, mengukur kebarangkalian ekor atau menukar ketaksimetrian sejarah menjadi isyarat dagangan.